1.2.4 圆与圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

2.4　圆与圆的位置关系 学习目标 1.根据圆与圆的方程,能够判断两圆的位置关系.提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 2.能够利用两圆的位置关系解决简单的实际问题,培养数形结合能力,提升数学抽象、逻辑推理素养. 问题:在某地拍到的日环食过程如图所示,可以用两个圆来表示日环食的变化过程.根据情境图,结合平面几何知识,圆与圆的位置关系有几种?影响圆与圆的位置关系的数量因素是什么? 提示:圆与圆的位置关系有5种,即内含、内切、相交、外切、外离;影响圆与圆的位置关系的数量因素为两圆半径的和差与圆心距之间的大小关系. 两圆的位置关系 若两圆的半径分别为r1,r2,两圆圆心距的长为d,则两圆的位置关系如下: 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1, r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d< r1+r2 d=|r1- r2| d<|r1- r2| 公切线 的条数 4 3 2 1 0 两圆 交点的 个数 0 1 2 1 0 公共弦方程: 已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 (1)若两圆相交,则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)若两圆相切,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示过切点的公切线的方程. 两圆位置关系的判断 [例1] (1)已知圆C1:x2+(y-1)2=4与C2:x2+y2-2x=0,则圆C1与C2的位置关系是(　　) A.内含 B.相切 C.相交 D.外离 (2)已知圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y+m+8=0相外切,则m的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:(1)化简C2为(x-1)2+y2=1, 圆C1的圆心为(0,1),半径为r1=2;圆C2的圆心为(1,0),半径为r2=1; 因为|C1C2|==, 且|r1-r2|=1,|r1+r2|=3; 因为1<<3,所以圆C1与C2相交.故选C. (2)由圆x2+y2-6x-8y+m+8=0可得(x-3)2+(y-4)2=17-m, 则17-m>0,所以m<17, 所以圆x2+y2-6x-8y+m+8=0的圆心为(3,4),半径为, 圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1, 圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y+m+8=0相外切,则=1+, 解得m=1.故选A. 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值,半径之和进行比较,进而判断出两圆的位置关系,这是在解析几何中主要使用的方法. (2)代数法:将两圆的方程组成方程组,通过解方程组,根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系. [针对训练] 已知圆C1:x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)的面积被直线x+2y+1=0平分,圆C2:(x+2)2+(y-3)2=25,则圆C1与圆C2的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 解析:因为圆C1:x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)的面积被直线x+2y+1=0平分, 所以圆C1的圆心(1,-)在直线x+2y+1=0上,所以1+2×(-)+1=0,解得m=2, 所以圆C1的圆心为(1,-1),半径为1,因为圆C2的圆心为(-2,3),半径为5,所以5-1<|C1C2|==5<5+1,所以圆C1与圆C2的位置关系是相交.故选B. 两圆相交公共弦问题 [例2] 圆O1:x2+y2-1=0与圆O2:x2+y2-4x=0公共弦所在直线的方程为　　　　.  解析:直接把两圆方程相减,得4x-1=0,即为公共弦所在直线的方程. 答案:4x-1=0 公共弦长的求法: (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解. [针对训练] (1)(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-2x+4y+4=0相交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　) A.圆M的圆心为(1,-2),半径为1 B.直线AB的方程为x-2y-4=0 C.线段AB的长为 D.线段AB的长为 (2)两圆(x+1)2+y2=9和x2+y2+4x-4y=0相交于两点M,N,则线段MN的长为　　　　.  解析:(1)由圆M:x2+y2-2x+4y+4=0, 得(x-1)2+(y+2)2=1, 则圆M的圆心为(1,-2),半径为1,故A正确; 联立圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2-2x+4y+4=0,消去二次项, 可得直线AB的方程为x-2y