1.2.3 直线与圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

2.3　直线与圆的位置关系 学习目标 1.根据给定的直线方程、圆的方程,通过几何法或代数法能够判定直线与圆的位置关系,提升逻辑推理和数学运算素养. 2.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题,提升数学抽象、数学建模素养. 问题:如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系呢? 提示:转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解,利用圆心到直线的距离与半径的关系判断. 1.直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法: 设圆心到直线的距离为d= d<r d=r d>r 代数法:由方程组消元得到一元二次方程,可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 2.圆的切线问题 如图,直线l与圆C相切,切点为P,半径为r. 则:①CP⊥l; ②点C到直线l的距离d=|CP|=r; ③切点P在直线l上,也在圆上. 3.圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法: (1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2, 即|AB|=2. (2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|==|x1-x2|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在). 直线与圆的位置关系 [例1] 直线2x-y+2=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=4的位置关系为(　　) A.相交且直线过圆心 B.相切 C.相离 D.相交且直线不过圆心 解析:由题意,圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标为C(1,2),半径为r=2, 则圆心C(1,2)到直线2x-y+2=0的距离为d==<2, 所以直线与圆相交,将圆心坐标代入直线2x-y+2=0,可得2×1-2+2≠0,所以直线不过圆心.故选D. 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. (3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. [针对训练] (1)直线ax+y-a=0(a∈R)与圆x2-4x+y2=0的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 (2)已知直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离,则实数m的取值范围是(　　) A.[-,-] B.(-∞,-) C.(-,-) D.(-,+∞) 解析:(1)由ax+y-a=0⇒y=-a(x-1), 所以直线ax+y-a=0恒过定点(1,0), 圆x2-4x+y2=0可化为(x-2)2+y2=4, 因为(1-2)2+02<4,所以点(1,0)在圆(x-2)2+y2=4的内部,所以直线ax+y-a=0与圆x2-4x+y2=0相交.故选B. (2)由C:x2+y2-2y-2m=0⇒x2+(y-1)2=2m+1>0,则m>-, 所以圆C的圆心为(0,1),半径为, 由直线与圆相离,故>,可得m<-, 综上,-<m<-.故选C. 圆的切线问题 [例2] 已知圆M经过点A(-3,2),B(-1,4),且　　　　.  在①经过点C(-1,0);②与x轴有公共点,半径为2;③被直线y=2平分这三个条件中任选一个,补充在上面问题中,并加以解答. (1)求圆M的方程; (2)若经过点P(-3,6)的直线l与圆M相切,求直线l的方程. 解:(1)选①.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆M经过三点A(-3,2),B(-1,4),C(-1,0), 所以解得 所以圆M的方程为x2+y2+2x-4y+1=0. 选②.由点A(-3,2),B(-1,4),知线段AB的中垂线方程为x+y-1=0. 则圆心在直线x+y-1=0上,设圆M的圆心坐标为(a,1-a), 因为圆M的半径为2,所以(-3-a)2+[2-(1-a)]2=4, 即a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3. 所以圆M的方程为(x+1)2+(y-2)2=4或(x+3)2+(y-4)2=4. 在(x+1)2+(y-2)2=4中,令y=0得(x+1)2=0,解得x=-1. 在(x+3)2+(y-4)2=4中,令y=0,得(x+3)2=-12,无解. 又圆M与x轴有公共点,所以圆M的方程为(x+1)2+(y-2)2=4. 选③.因为A(-3,2),B(-1,4),所以AB的中垂线方程为x+y-1=0,所以圆心在直线x+y-1=0上.圆被直线y=2平分,则圆心在直线y=2上,则解得所以圆心坐标为(-1,2), 所以半径r==2,所以圆M的方