1.2.2 圆的一般方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

2.2　圆的一般方程 学习目标 1.通过回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中探索并掌握圆的一般方程,提升逻辑推理素养. 2.能根据所给的条件求圆的一般方程,提升数学运算、逻辑推理素养. 问题:把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开,可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,该方程的形式为x2+y2+Dx+Ey+F=0,反过来,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是某个圆的方程? 提示:将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方, 得(x+)2+(y+)2=, 由此可知,只有当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-,-)为圆心,为半径的圆, 当D2+E2-4F=0时表示一个点(-,-), 当D2+E2-4F<0时,没有实数对(x,y)适合方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,故其不表示任何图形. 1.圆的一般方程 方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)称为圆的一般方程. 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 条件 图形 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点(-,-) D2+E2-4F>0 表示以(-,-)为圆心,以为半径的圆 2.一般的二元二次方程表示圆的条件 方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=B≠0,C=0,D2+E2-4AF>0. 圆的一般方程 [例1] 在①圆经过 C(3,4),②圆心在直线x+y-2=0上这两个条件中任选一个,补充在问题中,进行求解. 已知圆P经过点A(-1,2),B(6,3)且　　　　.  (1)求圆P的方程; (2)在圆P中,求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程. 解:(1)选①:设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得 解得 所以圆P的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25. 选②:设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得解得所以圆P的方程为(x-3)2+(y+1)2=25. (2)由(1)知圆心P的坐标为(3,-1),因为弦的中点为M(2,1),弦所在直线的斜率k=-=-=,所以弦所在的直线方程为y-1=(x-2),即y=x. (1)根据圆的一般方程求圆心坐标和半径时,只要将圆的一般方程化为标准方程,得出圆心坐标和半径即可. (2)在求圆的一般方程时,常用待定系数法设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,然后找到三个独立的条件计算出D,E,F即可. [针对训练] (1)圆x2+y2-2ax-3a2=0的半径是(　　) A.|a| B.2|a| C. D.2a (2)已知圆C过点A(3,-2),B(-3,6). ①求周长最小时圆C的一般方程; ②求圆心C在直线x-5y-1=0上时圆C的一般方程. (1)解析:x2+y2-2ax-3a2=0化为标准方程可得(x-a)2+y2=4a2,则圆心为(a,0),半径为 2|a|.故选B. (2)解:①当AB为圆C的直径时,圆C的半径最小,从而周长最小.即AB的中点(0,2)为圆心,半径r=|AB|=5,此时圆C的一般方程为x2+y2-4y-21=0. ②设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 根据题意得 解得 所以圆的一般方程为x2+y2+8x+2y-33=0. 一般的二元二次方程表示圆的条件 [例2] (多选题)已知方程x2+y2-4x+8y+2a=0,则下列说法正确的是(　　) A.当a=10时,表示圆心为(2,-4)的圆 B.当a<10时,表示圆心为(2,-4)的圆 C.当a=0时,表示的圆的半径为2 D.当a=3时,表示的圆与y轴相切 解析:由x2+y2-4x+8y+2a=0,得(x-2)2+(y+4)2=20-2a. 当a=10时,方程x2+y2-4x+8y+2a=0表示点(2,-4),故A错误;当a<10时,方程x2+y2-4x+8y+2a=0表示圆心为(2,-4)的圆,故B正确;当a=0时,方程x2+y2-4x+8y+2a=0表示的圆的半径为2,故C正确;当a=3时,方程x2+y2-4x+8y+2a=0表示的圆的半径为,与y轴相交,故D错误.故选BC. 根据一般的二元二次方程表示圆的充要条件可求得方程中的系数满足的不等式,只有满足该不等式的参数值可以使得方程表示圆. [针对训练] 方程x2+Axy+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是　　　　　　　.  解析:原方程可整理为(x+)2+(y+)2+Axy=, 由圆的定义可知,若方程表示圆,则需A=0且>0, 即A=0且D2+E2-4F>0; 当A=0且D2+E2-4F>0时, 方程表示以(-,-)为圆心,为半径的圆. 综上所述