1.2.1 圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 学习目标 1.通过回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程,提升逻辑推理素养. 2.能根据所给的条件求圆的标准方程,提升数学运算、逻辑推理素养. 　 　　“南昌之星”摩天轮于2006年建成,它位于江西省南昌市红谷滩区红角洲赣江边上的赣江市民公园,是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160 m,圆盘直径为153 m. 探究1:乘坐摩天轮的游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离相等吗? 提示:相等.圆上的点到圆心的距离都是相等的,都等于圆的半径. 探究2:若以摩天轮中心所在位置为原点,建立平面直角坐标系,游客在任意一点的坐标(x,y)满足什么关系? 提示:圆上任意一点的坐标(x,y)满足=. 探究3:推广到一般,以点(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆上任意一点的坐标(x,y)满足什么关系? 已知圆心为A(a,b),半径为r,你能推导出圆的方程吗? 提示:设圆上任一点M(x,y),则|MA|=r,由两点间的距离公式, 得=r,化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2. 1.圆的标准方程 在平面直角坐标系中,以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,称此方程为圆的标准方程. 2.点与圆的位置关系 若圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0). 设d=|PC|=,则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆内 d<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 3.圆的几何性质 圆x2+y2=r2的简单几何性质 (1)范围:|x|≤r,|y|≤r. (2)对称性:该圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形,也是关于原点的中心对称图形. 圆的标准方程 [例1] (1)(多选题)下列说法错误的是(　　) A.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1,2),半径为5 B.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2,0),半径为b C.圆+=2的圆心为(,-),半径为 D.圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(2,2),半径为 (2)(多选题)已知三角形的三个顶点分别为O(0,0),M(1,1),N(4,2),则(　　) A.三角形OMN外接圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25 B.三角形OMN外接圆的半径为5 C.三角形OMN外接圆的圆心坐标为(4,-3) D.|MN|大于三角形OMN外接圆的半径 解析:(1)对于A,由圆(x-1)2+(y-2)2=5,可得圆心为(1,2),半径为,故选项A错误;对于B,由圆(x+2)2+y2=b2(b≠0),可得圆心为(-2,0),半径为|b|,故选项B错误;对于C,由圆+=2,可得圆心为(,-),半径为,故选项C正确;对于D,由圆(x+2)2+(y+2)2=5,可得圆心为(-2,-2),半径为,故选项D错误.故选ABD. (2)OM中点E(,),MN中点F(,),OM的垂直平分线PE的方程为y-=-(x-).① MN的垂直平分线PF的方程为y-=-3(x-),② 联立①②,得解得则点P(4,-3)为直线PE,PF的交点,即为圆心,|OP|=5,即为圆的半径.所以圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.|MN|==<5.故选ABC. (1)求圆的标准方程即确定圆心坐标和圆的半径,一般使用待定系数法,即列出圆心坐标和圆的半径的方程组,解方程组求得待定系数. (2)关于一条直线对称的圆的方程,圆心关于该直线的对称点即为对称圆的圆心、半径不变. (3)在求圆的标准方程的过程中有意识的应用圆的几何性质,如圆心在圆的任何一条弦的垂直平分线上,可以有效地减少运算量. [针对训练] (1)已知圆C过点A(1,4),B(3,2),且圆心C在直线y=0上,则圆C的标准方程是(　　) A.(x+1)2+y2=20 B.(x-1)2+y2=20 C.x2+(y+1)2=20 D.x2+(y-1)2=20 (2)若两定点A,B的距离为3,动点M满足 |MA|=2|MB|,则M点的轨迹围成区域的面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 解析:(1)已知圆C过点A(1,4),B(3,2),则根据圆的性质,圆心在AB的中垂线上, 即x-y+1=0上,令y=0,得x=-1,所以圆心坐标为(-1,0).利用两点间距离公式,求出圆心到点A的距离可得半径为2,因此圆C的标准方程是(x+1)2+y2=20.故选A. (2)以点A为坐标原点,射线AB为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,如图,设点M(x,y), 则=