1.1.6 平面直角坐标系中的距离公式-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 学习目标 1.通过两点间的距离公式的推导,掌握两点间的距离公式,体会数形结合的优越性,提升逻辑推理、数学运算素养. 2.通过用坐标法推导点到直线的距离公式的代数运算过程,掌握点到直线的距离公式,提升数学运算、逻辑推理素养. 3.把握点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式的内在联系,会利用两平行线间的距离公式解决问题,提升数学运算素养. 问题:已知平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2),怎样求这两点间的距离? 提示:(1)当AB与x轴平行时,|AB|=|x2-x1|; (2)当AB与y轴平行时,|AB|=|y2-y1|; (3)当AB与坐标轴不平行时,如图,在Rt△ABC中,|AB|2=|BC|2+|AC|2, 所以|AB|=, 即两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离 |AB|=. 1.两点间的距离公式 在平面直角坐标系中,两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式为|AB|=. 特殊地,当与x轴或y轴平行时,这两点间的距离|AB|就是坐标轴上的距离. 思考1:如果点A(x1,y1),B(x2,y2)所在的直线方程为y=kx+b,如何求A,B两点间的距离? 提示:因为A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b上, 所以y1=kx1+b,y2=kx2+b, 所以|AB|= = = =|x2-x1|.可以把该公式称为斜率为k的直线上两点间的距离公式. 做一做:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=kx+1上的两点,若|x2-x1|=3,且|AB|=6,求直线l的方程. 解:由题意可知|AB|=|x2-x1|, 所以3=6,所以k2=3, 解得k=±,故直线l的方程为y=x+1或y=-x+1. 2.点到直线的距离公式 在平面直角坐标系中,点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式为d=(其中A,B不全为0). 思考2:结合点到直线的距离公式怎样求两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离(A2+B2≠0)? 提示:在直线Ax+By+C1=0上任取一点P(x0,y0),点P(x0,y0)到直线Ax+By+C2=0的距离,就是这两条平行直线间的距离, 即d=, 因为点P(x0,y0)在直线Ax+By+C1=0上,所以Ax0+By0+C1=0,即Ax0+By0=-C1, 因此d===. 3.两条平行直线间的距离公式 两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的公垂线段的长.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不全为0,且C1≠C2)之间的距离d=. 两点间的距离公式 [例1] (1)已知点 A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(　　) A.1 B.-5 C.-1或-5 D.1或-5 (2)直线l1:x-my-2=0与直线l2:mx+y+2=0交于点Q,m是实数,O为坐标原点,则|OQ|的最大值是(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 解析:(1)由两点间的距离公式,可得|AB|==5,解得a=1或a=-5.故选D. (2)因为l1:x-my-2=0与l2:mx+y+2=0的交点坐标为Q(,), 所以|OQ|===,当m=0时,|OQ|max=2,所以|OQ|的最大值是2.故选B. 两点间的距离公式是解析几何中最基本的距离公式,使用时只要正确代入两点的坐标即可. [针对训练] (1)已知点A(-1,2),B(2,),P为x轴上一点,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为(　　) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) (2)函数f(x)=+的最小值是(　　) A.5 B.4 C.1+2 D.+2 解析:(1)设P(m,0),则|PA|=,|PB|=,由|PA|=|PB|,得(m+1)2+4=(m-2)2+7,解得m=1,故P(1,0).故选B. (2)f(x)=+ =+, 则其几何意义为点P(x,0)到两定点A(-1,2),B(3,1)的距离和,点(x,0)表示为x轴上的点,作出图象如图所示. 作出点A关于x轴的对称点A′(-1,-2),连接 A′B,交x轴于点P,则f(x)=|AP|+|BP|=|A′P|+|BP|≥|A′B|==5,所以f(x)min=5.故选A. 点到直线的距离 [例2] (1)点(1,1)到直线ax+2y+2=0的距离为2,则a的值为(　　) A.0 B. C.0或 D.0或- (2)坐标原点到直线l:k2x+x+y-k2-2=0的距离的取值范围是(　　) A.(1,] B.[0,] C.(0,1) D.[0,+∞) 解析:(1)点(1,1)到直线ax+2y+2=0的距离为=2,解得a=0或. 故选C.