1.1.3 直线的方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

1.3　直线的方程 学习目标 1.经过利用斜率公式探索直线的点斜式方程的过程,理解点斜式方程的意义,提升逻辑推理素养. 2.能根据两定点的坐标,由直线的点斜式方程推导建立直线的两点式方程,了解两点式方程的意义,提升逻辑推理、直观想象素养. 3.通过两点式方程推导出截距式方程,体会一般到特殊的思想方法,掌握截距式方程,提升数学抽象和逻辑推理素养. 4.通过从代数的角度认识直线方程的四种不同形式,能抽象出直线方程的一般式,掌握直线不同形式方程的转化,提升数学抽象、直观想象素养. 问题1:如果直线l过一点P(x0,y0),并且其斜率为k,则斜率k确定了直线的方向,点P确定了该直线在平面直角坐标系中的位置,直线l为确定的直线,那么直线l上任意一点Q的坐标(x,y)满足一个什么样的方程?以这个方程的解x,y的值为坐标的点(x,y)是否在直线l上? 提示:把点Q固定,根据过两点的直线的斜率公式,可得=k(x≠x0),如果把这个方程化为y-y0=k(x-x0),则点(x0,y0)也满足这个方程.当点Q变动时,变量x,y始终满足方程y-y0=k(x-x0),当x,y满足这个方程时,首先(x0,y0)满足这个方程,即以(x0,y0)为坐标的点在直线l上,其次当x≠x0时,=k,即以(x,y)为坐标的点在直线l上.这样我们就得到,过点P(x0,y0)且斜率为k的直线l上任意一点的坐标都满足方程y-y0=k(x-x0),以满足方程y-y0=k(x-x0)的x,y的值为坐标的点都在直线l上,此时我们把方程 y-y0=k(x-x0)叫作直线l的方程,把直线l叫作方程y-y0=k(x-x0)的直线. 1.直线的方程 一般地,如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解,并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为直线l的方程. 2.直线方程的点斜式 经过点P(x0,y0)且斜率为k的直线l的方程为y-y0=k(x-x0),该方程称为直线方程的点斜式;如果经过点P(0,b),则l的方程为y=kx+b,其中b为直线l在y轴上的截距,方程y=kx+b称为直线方程的斜截式. 思考1:在平面直角坐标系中,是否任意直线l都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示?当斜率k=0时,直线l的方程具有何种形式? 提示:当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程,此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0;当斜率k=0时,直线与x轴平行或重合,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0. 问题2:我们知道已知两点也可以确定一条直线,在平面直角坐标系中,给定一个点P0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程.若给定直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),你能否得出直线的方程呢? 提示:=. 3.直线方程的两点式 直线过点A(x1,y1),B(x2,y2),方程=(其中x1≠x2,y1≠y2)称为直线方程的两点式;如果A(a,0),B(0,b)(其中ab≠0),直线方程的两点式可以化为+=1,其中a为直线与x轴交点的横坐标(即直线在x轴上的截距),b为直线与y轴交点的纵坐标(即直线在y轴上的截距),方程+=1(其中ab≠0)称为直线方程的截距式. 4.直线方程的一般式 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不全为0)表示的是一条直线,称它为直线方程的一般式. 5.直线方程的点法式 直线l过点P(x0,y0),且它的一个法向量为n=(A,B),则直线l的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0,这个方程称为直线方程的点法式. 思考2:比较直线方程五种形式的适用范围分别是什么? 提示:直线方程五种形式的比较 名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 点P1(x1,y1)和斜率k y-y1= k(x-x1) 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y=kx+b 不垂直于x轴的直线 两点式 点P1(x1,y1)和点P2(x2,y2) = 不垂直于x轴,y轴的直线 截距式 在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,且截距不为零 +=1 不垂直于x轴,y轴的直线,不过原点的直线 一般式 两个独立的条件 Ax+By+C=0 A,B不全为零 做一做:(1)经过点P(-4,3),倾斜角为45°的直线方程是(　D　) A.x+y+7=0 B.x+y-7=0 C.x-y-7=0 D.x-y+7=0 (2)(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下述正确的是(　BD　) A.直线l的斜率可以等于0 B.直线l的斜率有可能不存在 C.直线l可能过点(2,1) D.若直线l的横纵截距相等,则m=±1 解析:(1)因为k=tan 45°=1,所以直线方程