1.1.1-1.2 一次函数的图象与直线的方程&直线的倾斜角、斜率及其关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 学习目标 1.经过直线和斜率概念的抽象过程,理解直线的倾斜角和斜率的概念,提升数学抽象素养. 2.通过对斜率公式的推导,掌握过两点的直线的斜率公式,提高数形结合的能力,提升逻辑推理、直观想象素养. 3.通过了解直线的方向向量,理解直线的方向向量与直线斜率的关系,提升数学运算素养. 　　交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k==.若k>0,则表示上坡,若k<0,则表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小. 探究:那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? 提示:坡度是用高度的平均变化率来刻画道路的倾斜程度的. 问题1:如图,在平面直角坐标系中,过一点P(2,2)可以作出多少条直线?这些直线的区别在哪里呢?如何表示这些直线的方向呢? 提示:无数条.区别是它们的方向不同.这些直线相对于x轴的倾斜程度不同,也就是它们与x轴所成的角不同.因此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向. 1.直线的倾斜角 定义 对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的倾斜角 规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0 记法 α 图示 范围 [0,π) 思考:是否每条直线都有倾斜角呢?如果有倾斜角,倾斜角唯一吗? 提示:每条直线都有倾斜角,并且每条直线的倾斜角都是唯一的. 问题2:如图,A(x1,y1),B(x2,y2)是倾斜角为α的直线l上的两点,则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系? 提示:过点A作直线平行于x轴,过点B作直线垂直于x轴,交于一点C,则△ABC是直角三角形,故有tan α=,而BC=y2-y1,AC=x2-x1,所以tan α=,即k=tan α. 2.直线的斜率 k=(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率. 3.直线的斜率与倾斜角的关系 (1)直线的斜率k与倾斜角α满足k=tan α(其中α≠).  (2)斜率k与倾斜角α有如下关系: 当α∈[0,)时,斜率k≥0,且k随倾斜角α的增大而增大. 当α∈(,π)时,斜率k<0,且k随倾斜角α的增大而增大. 当α=时,直线l与x轴垂直,此时直线l的斜率不存在. 4.直线的方向向量 直线上的向量及与之平行的非零向量称为直线的方向向量,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量.当x1=x2时,=(0,y2-y1)是垂直于x轴的直线的方向向量. 做一做:(多选题)下列说法正确的是(　ABC　) A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率,则k∈R C.若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量 D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角 解析:根据直线的倾斜角和斜率的概念可以判断A,B,C正确.故选ABC. 若k是直线l的斜率,则 (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为 a=(0,1). (2)斜率存在时的直线的方向向量为a=(1,k). (3)任意直线的方向向量可表示为a=(cos θ,sin θ). 直线的倾斜角 [例1] 求图中各直线的倾斜角. 解:(1)如图①,可知∠OAB为直线l1的倾斜角.易知∠ABO=30°, 所以∠OAB=60°,即直线l1的倾斜角为60°. (2)如图②,可知∠xAB为直线l2的倾斜角,易知∠OBA=45°, 所以∠OAB=45°, 所以∠xAB=135°,即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图③,可知∠OAC为直线l3的倾斜角,易知∠ABO=60°, 所以∠BAO=30°, 所以∠OAC=150°,即直线l3的倾斜角为150°. 直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的取值范围. [针对训练] (多选题)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α-45° 解析:根据题意,画出图形,如图所示. 通过图象可知,当0°≤α<135°,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时, l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选AB. 直线的斜率 [例2] (1)直线l