6.3.1 离散型随机变量的均值-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

§3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值 选题明细表 知识点、方法 题号 离散型随机变量的均值 1,2,3,5 离散型随机变量的均 值的简单应用 4,9,10,11 离散型随机变量的 均值的实际应用 6,7,8,12,13,14 基础巩固 1.设随机变量X的分布列如表, X 0 1 2 P a 则EX的值为(　C　) A. B. C. D. 解析:由题意知a=1--=, 所以EX=0×+1×+2×=.故选C. 2.设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.6, P(X=2)=0.2,则E(2X-3)等于(　C　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:因为离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2, P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.2,所以EX=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1, 所以E(2X-3)=2EX-3=2×1-3=-1.故选C. 3.一个质地均匀的正四面体木块,四个面上分别写有数字1,1,2,3,现随机将木块抛掷一次,记朝下一面出现的数字为随机变量ξ,则ξ的数学期望为(　B　) A. B. C.2 D. 解析:ξ的可能取值为1,2,3, P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=, 则ξ的数学期望为1×+2×+3×=.故选B. 4.已知随机变量X的取值为1,2,3,若P(X=1)=,EX=2,则P(X=2)等于(　A　) A. B. C. D. 解析:设P(X=2)=p,P(X=3)=q, 因为随机变量X的取值为1,2,3,P(X=1)=,EX=2, 所以 解得p=,q=.故选A. 5.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X的数学期望是(　A　) A.7.8 B.8 C.16 D.15.6 解析:X的可能取值为6,9,12, 且P(X=6)==,P(X=9)==, P(X=12)==, 故EX=6×+9×+12×=7.8.故选A. 6.某线上平台新开通一项“争上游答题”栏目,其规则是比赛两局,首局胜利积3分,第二局胜利积2分,失败均积1分,某人每局比赛胜利的概率为,设他参加一次答题活动得分为ξ,则Eξ=　　　　.  解析:根据题意,某人参加一次答题活动得分为ξ,则ξ可取的值为2,3,4,5, 若ξ=2,即他两局都失败了,则P(ξ=2)=(1-)×(1-)=, 若ξ=3,即他第一局失败了,而第二局胜利,则P(ξ=3)=(1-)×=, 若ξ=4,即他第一局胜利,而第二局失败,则P(ξ=4)=×(1-)=, 若ξ=5,即他两局都胜利了,则P(ξ=5)=×=, 故Eξ=2×+3×+4×+5×==. 答案: 7.某学校组织学生进行知识竞赛,规则:每位参赛学生都要回答3个问题,且这3个问题回答正确与否相互之间互不影响,若每答对1个问题,得1分;答错,得0分,最后按照得分多少排出名次,并分设一、二、三等奖给予奖励.已知对给出的3个问题,学生甲答对的概率分别为,,,则学生甲恰好答对1个问题的概率为　　　　;在上述条件下,设随机变量X表示学生甲答对题目的个数,则X的数学期望为　　　　.  解析:设事件“甲答对第i个问题”为Ai(i=1,2,3), 由已知可得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=, 事件“学生甲恰好答对1个问题”可以表示为A1 +A2+ A3, 又A1 ,A2, A3互斥,且A1,A2,A3两两相互独立, 所以P(A1 +A2+ A3) =P(A1 )+P(A2)+P( A3) =P(A1)P()P()+P()P(A2)P()+P()P()P(A3) =×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×==, 所以学生甲恰好答对1个问题的概率为. 由题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3, 所以P(X=0)=(1-)×(1-)×(1-)=, P(X=1)=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×==, P(X=2)=××(1-)+×(1-)×+(1-)××=, P(X=3)=××==, 因此EX=0×+1×+2×+3×=. 答案:　 能力提升 8.(多选题)某校招生考试科目中,数学引入多选题后增加了区分度,突出了选拔性.四个选项中有多个选项符合题目要求.全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对得2分.若选项中有i(i=2,3,4)个选项是符合题目要求的.随机作答该题时(至少选择一个选项)所得的分数为随机变量ξi(i=2,3,4),则有(　ABC　) A.Eξ2= B.Eξ3= C.2Eξ2+Eξ4=3Eξ3 D.Eξ2+2Eξ4<3Eξ3 解析:由于随机作答,故各选项被选中的