2.2.2 双曲线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

2.2　双曲线的简单几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 双曲线的几何性质 1,2,3,4,7,11 双曲线几何性质的应用 5,6,8,9,10,12,13 基础巩固 1.已知双曲线x2-=1的虚轴长为4,则实数m的值为(　A　) A.4 B. C. D. 解析:由题意虚轴在y轴,则2=4,m=4. 故选A. 2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为(　D　) A. B. C. D. 解析:依题意-=,即a=2b,所以c==b,所以e==. 故选D. 3.双曲线-x2=1(a>0)的实轴长为4,则其渐近线方程为(　D　) A.x±4y=0 B.4x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 解析:由题意知a=2,所以双曲线的标准方程为-x2=1,其渐近线方程为2x±y=0.故选D. 4.已知幂函数y=x-1的图象是等轴双曲线C,且它的焦点在直线y=x上,则下列曲线中,与曲线C的实轴长相等的双曲线是(　B　) A.+=1 B.-=1 C.x2-y2=1 D.-=1 解析:由双曲线的几何性质知,双曲线的焦点在实轴上,实轴与双曲线的交点A1(-1,-1),A2(1,1)是双曲线的顶点,故双曲线C的实轴长为|A1A2|=2, 显然选项A表示的是椭圆; 选项B的双曲线实轴长为2; 选项C的双曲线实轴长为2; 选项D的双曲线实轴长为4.故选B. 5.如图是一个“双曲狭缝”模型,直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面,双曲面的边缘为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2,曲线AB与曲线CD中间最窄处的距离为10 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=30 cm,则|AD|=(　B　) A.10 cm B.20 cm C.25 cm D.30 cm 解析:由题意得2a=10,解得a=5,因为离心率=2,所以c=10, b==5,故双曲线方程为-=1.设A(m,n)(m>0,n>0), 则B(m,-n),D(-m,n),则|AB|=2n=30,所以n=15,则-=1,解得m=10,故|AD|=2m=20. 故选B. 6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且与椭圆+y2=1有公共焦点,则双曲线C的方程为　　　　　　.  解析:在椭圆+y2=1中,c2=10-1=9,c=3,焦点坐标是(±3,0), 因为双曲线C与椭圆有公共焦点,所以e===,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5, 所以双曲线C的方程为-=1. 答案:-=1 7.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线 右支上一点,若满足|PF2|=|F1F2|,∠F2F1P=,则该双曲线的离心率为　　　 　.  解析:因为|PF2|=|F1F2|=2c,∠F2F1P=, 所以=+-2|PF1|·|F1F2|cos∠F2F1P, 即4c2=+4c2-2|PF1|·2c·, 所以|PF1|=2c,又|PF1|-|PF2|=2a, 所以2c-2c=2a,即e==. 答案: 能力提升 8.(多选题)已知双曲线+=1的实轴长是虚轴长的3倍,则m的值可能是(　BD　) A.-1 B.2 C. D.12 解析:当双曲线的焦点在x轴上时,a=,b=, 则2=3×2,解得m=2; 当双曲线的焦点在y轴上时,a=,b=, 则2=3×2,解得m=12.经检验m=2和m=12均符合题意.故选BD. 9.(多选题)双曲线具有如下光学性质:如图F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C的方程为-=1,则(　ABD　) A.双曲线的焦点F2到渐近线的距离为 B.若m⊥n,则|PF1||PF2|=42 C.当n过点Q(3,6)时,光线由F2→P→Q所经过的路程为8 D.反射光线n所在直线的斜率为k,则|k|∈[0,) 解析:对于A,由双曲线C的方程为-=1知双曲线的一条渐近线的方程为x-2y=0, 焦点F2(5,0)到直线x-2y=0的距离为=,故A正确; 对于B,若m⊥n,则∠F1PF2=90°. 因为P在双曲线右支上,所以|F1P|-|F2P|=4. 由勾股定理得+=, 二者联立解得|PF1||PF2|===42,故B正确; 对于C,光由F2→P→Q所经过的路程为|F2P|+|PQ|=|F1P|-2a+|PQ|= |F1P|+|PQ|-2a=|F1Q|-2a=-4=6,故C不正确; 对于D,双曲线-=1的渐进线方程为y=±x. 设左、右顶点分别为A,