2.1.2 椭圆的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

1.2　椭圆的简单几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 椭圆的几何性质 1,2,4,8,9,13 由几何性质求椭圆方程 6,11 几何性质的应用 3,5,7,10,12 基础巩固 1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为(　C　) A.2, B.,2 C.4,2 D.2,4 解析:把3x2+4y2=12化成标准形式为+=1,得a2=4,b2=3,则长轴长为4,短轴长为2.故选C. 2.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4,则该椭圆的短轴长为(　C　) A.2 B. C.2 D.4 解析:因为椭圆的长轴长为4,所以a=2,根据离心率为,得c=,所以b==,所以椭圆的短轴长为2.故选C. 3.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短半轴长的四倍,则m的值为(　D　) A.2 B. C.4 D. 解析:椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上, 则有0<m<1, 由椭圆方程x2+=1可得b=1,a=, 由长轴长是短半轴长的四倍,可得=2,解得m=.故选D. 4.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点M是过原点O且倾斜角为120°的直线l与椭圆C的一个交点,且·=0,则椭圆C的离心率为(　D　) A. B.2- C. D.-1 解析:不妨设M在第二象限. 因为·=0, 即MF1⊥MF2,|OM|=|F1F2|=c. 又∠MOF2=120°,所以∠MOF1=60°, 即△MOF1为等边三角形, 所以|MF1|=c,|MF2|=c,所以2a=c+c,所以e==-1.故选D. 5.已知椭圆+=1(m>4)的焦距是2,则m的值是　　　　.  解析:在椭圆+=1(m>4)中,a2=m,b2=4, 由已知可得2c=2=2=2,解得 m=5. 答案:5 6.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,椭圆的长轴长为6,且cos∠OFA=,则椭圆的方程是　 . 解析:因为椭圆的长轴长是6,cos∠OFA=,所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点), 所以|OF|=c,|AF|=a=3, 所以=,所以c=2,b2=32-22=5, 所以椭圆的方程是+=1或+=1. 答案:+=1或+=1 7.油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1 000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺,某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示.该伞沿是一个半径为2的圆,圆心到伞柄底端距离为,当阳光与地面夹角为60°时,在地面形成了一个椭圆形影子,且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,该椭圆的离心率e=　　　 　.  解析:因为伞沿是半径为2的圆,圆心到伞柄底端的距离为,设伞柄与地面的夹角为θ,则tan θ==,所以θ=60°,即光线与伞柄平行,所以椭圆长半轴a==,短半轴b=2,离心率e==. 答案: 能力提升 8.已知F是椭圆的一个焦点,若存在直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,且∠AFB=60°,则椭圆离心率的取值范围是(　A　) A.(,1) B.(0,) C.[,1) D.(0,] 解析:连接A,B与左、右焦点F,F′的连线, 由∠AFB=60°,椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF′为平行四边形,∠FAF′=120°, 在△AFF′中,|FF′|2=|AF|2+|AF′|2-2|AF|·|AF′|cos∠FAF′= (|AF|+|AF′|)2-|AF|·|AF′|, 所以(|AF|+|AF′|)2-|FF′|2=|AF|·|AF′|≤()2, 即(|AF|+|AF′|)2≤|FF′|2,当且仅当|AF|=|AF′|时等号成立, 又直线y=kx的斜率存在, 故|AF|≠|AF′|, 即·4a2<4c2,可得e=>, 所以椭圆的离心率e∈(,1).故选A. 9.(多选题)下列关于曲线C:mx2+ny2=1(m>0,n>0)的说法正确的是(　ACD　) A.当m=n时,曲线C表示圆 B.当m>n时,曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 C.点(0,0)是曲线C的对称中心 D.曲线C表示椭圆时,其焦距为2 解析:曲线C:mx2+ny2=1(m>0,n>0), 当m=n时,方程为x2+y2=表示圆心在原点,半径为的圆,A正确; 当m>n时,方程为+=1,0<<,则曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,B不正确; 曲线C:mx2+ny2=1上任意点(x,y),显然有 m(-x)2+n(-y)2=mx2+ny2=1,即点(-x,-y)也在曲线C上,因此点(0,0)是曲线C的对称中心,C正确; 若曲线C表示椭圆,则m≠n,令曲线+=1的半焦距为c, 则c2=|-|,因此椭圆C的焦距为2c=2,D正确.故选ACD. 10.(多选题)天文学上可以大致认为部分行星的运行轨道为椭圆,如图所示,记