2.1.1 椭圆及其标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

§1　椭　圆 1.1　椭圆及其标准方程 选题明细表 知识点、方法 题号 椭圆的定义 3,4,5,8,13 椭圆的标准方程 1,2,6,7,9,10,11,12 基础巩固 1.椭圆+=1的焦点坐标是(　C　) A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0) 解析:由椭圆的方程知,椭圆的焦点在y轴上,且c2=169-25=144, 所以c=±12,故焦点坐标为(0,±12). 故选C. 2.“2<m<6”是“方程+=1为椭圆”的(　B　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:若方程+=1表示椭圆,则解得2<m<6且m≠4,所以“2<m<6”是方程“+=1为椭圆”的必要不充分条件. 故选B. 3.已知F是椭圆C:+=1的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点Q坐标为(4,4),则|PQ|+|PF|的最大值为(　B　) A. B.13 C.3 D.5 解析:如图所示, |PQ|+|PF|=|PQ|+2a-|PF′|≤2a+|QF′|=8+=13. 故选B. 4.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点, 则线段MF1的中点P的轨迹是(　B　) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 解析:设椭圆的右焦点为F2, 由题意,知|PO|=|MF2|,|PF1|=|MF1|, 又|MF1|+|MF2|=2a, 所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c, 故由椭圆的定义,知点P的轨迹是椭圆. 故选B. 5.已知P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点, 若=,则△F1PF2的面积为(　A　) A.3 B.9 C. D.9 解析:因为==cos∠F1PF2=,0≤∠F1PF2≤π, 所以∠F1PF2=, 又c==4, 记|PF1|=m,|PF2|=n, 则 整理得mn=12, 所以=mnsin =×12×=3.故选A. 6.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为　　　　　　　.  解析:由题意可得解得 故椭圆的方程为+=1. 答案:+=1 7.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆 x2+y2-6x-91=0内切,则动圆圆心的轨迹方程为　　 　　.  解析:圆x2+y2+6x+5=0的圆心为A(-3,0),r1=2,圆x2+y2-6x-91=0的圆心为B(3,0),r2=10,设动圆的圆心为P,半径为r, 由题意得|PA|=r+2,|PB|=10-r,则|PA|+|PB|=12>|AB|,所以动圆圆心是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,2a=12的椭圆, 由椭圆定义得点P的轨迹方程为+=1. 答案:+=1 能力提升 8.如图,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上的点,PT为△F1PF2的外角平分线,F2T⊥PT,则|OT|等于(　B　) A.1 B.2 C. D.4 解析:如图所示, 延长F2T交F1P的延长线于点M, 因为PT为△F1PF2的外角平分线,F2T⊥PT, 所以易得△PTF2≌△PTM, 所以|PF2|=|PM|,|TF2|=|TM|, 结合椭圆的定义得|MF1|=|PF1|+|PM|=|PF1|+|PF2|=4, 又T为F2M的中点,O为F1F2的中点, 所以在△F1F2M中,|OT|=|MF1|=2.故选B. 9.(多选题)设椭圆+=1的右焦点为F,直线 y=m(0<m<)与椭圆交于A,B两点,现给出下列结论,其中正确的是(　ABD　) A.|AF|+|BF|=6 B.△ABF的周长的取值范围是(6,12) C.当m=时,△ABF的面积为 D.当m=1时,△ABF为直角三角形 解析:由椭圆+=1得a=3,b=,c==, 设椭圆的左焦点为F′,则|AF′|=|BF|, 所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=6为定值,故A正确; △ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+|AF|+|AF′|=|AB|+6,|AB|的取值范围是(0,6),所以△ABF的周长的取值范围是(6,12),故B正确; 当m=时,将y=代入+=1, 解得A(-,),B(,), 则|AB|=2×=3,所以△ABF的面积为S△ABF=×3×=,故C不正确; 当m=1时,将y=1代入+=1, 解得A(-,1),B(,1), 又因为F(,0),所以BF⊥AB,所以△ABF为直角三角形,故D正确.故选ABD. 10.已知点P(6,8)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若·=0,则椭圆的标准方程是　　　　　　 　　, sin∠PF1F2=　 　　　.  解析:由题设F1(-