2.3.1 抛物线及其标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，北师大版）

§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 学习目标 1.能从几何情境中认识抛物线的几何特征,给出抛物线的定义,提升直观想象素养. 2.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程,运用坐标法推导出抛物线的标准方程,并能用它解决简单的问题,进一步体会建立曲线方程的方法,提升直观想象、数学 运算素养. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1 知识梳理 自主探究 问题1:如图,先将一把直尺固定在画板上,再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l),然后取一根细绳,它的长度与另一条直角边AB相等,细绳的一端固定在三角板顶点A处,另一端固定在画板上的点F处. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子,并靠住三角板,然后将三角板沿着直尺上下滑动,可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线,即点P的轨迹.你能发现点P满足的几何条件吗?它的轨迹是什么形状? 提示:点P运动的过程中,始终有|PF|=|PB|,即点P到定点F的距离等于它到定直线l的距离,点P的轨迹形状与二次函数的图象相似. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 . 的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.定点F叫作抛物线的 ,定直线l叫作抛物线的 . 思考:在抛物线的定义中,如果定直线l经过定点F,则满足到定点和定直线距离相等的点的轨迹是什么图形? 提示:过点F且与直线l垂直的直线. 距离 相等 焦点 准线 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 问题2:比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如何建立平面直角坐标系,可使所求抛物线的方程形式简单? 提示:取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合,建立平面直角坐标系. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2.抛物线的标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 做一做:焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为　　　　　 　　　　.  解析:设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y. x2=10y和x2=-10y 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的系数及其符号. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2 师生互动 合作探究 抛物线的定义 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 解析:(1)由题意画图如图所示. 设切线l与圆B的一个公共点为M,过点A作直线AB的垂线m,过点M作MN⊥m,垂足为N,连接MB,则|MB|=r,|MN|=|PA|=r,所以|MB|=|MN|,即动点M到定点B的距离等于动点M到定直线m的 距离,且定点B不在定直线m上,根据抛物线的定义知,动点M的轨迹是以B为焦点,m为准线的抛物线.故选D. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A为抛物线C上一点,若|AF|=3,则点A的横坐标为　　　　.  2 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 16 理解抛物线的定义是解决问题的关键,要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征,但要注意的是定点不在定直线上. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 抛物线的标准方程 角度1　利用定义求方程 [例2] (1)已知动圆M经过定点A(1,0),且和直线 x=-1 相切,则点M的轨迹方程为(　　) A.y2=2x B.y2=4x C.y2=-2x D.y2=-4x √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2=-12y B.x2=12y C.y2=12x D.y2=-12x 解析:(2)设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得点M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,直线y=3为准线的抛物线,其方程为x2=-12y.故选A. √ 知识梳理·自主探究 师生互