2.2.1 双曲线及其标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，北师大版）

§2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 学习目标 1.能通过绘制双曲线的过程认识双曲线的几何特征,探究双曲线的定义,并能用它解决简单的问题,提升数学抽象素养. 2.类比椭圆标准方程的推导过程,能通过建立适当的平面直角 坐标系,根据双曲线上的点满足的条件列出双曲线上的点的坐标满足的方程,化简列出的方程,得到双曲线的标准方程,并能用它解决简单的问题,从中体会建立曲线方程的方法,提升直观想象、数学运算素养. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1 知识梳理 自主探究 适当选取两定点F1,F2,将拉链拉开一段,其中一边的端点固定在F1处,在另一边上截取一段(小于|F1F2|的长度),作为动点P到两定点F1和F2距离之差,而后把它固定在F2处,这时将铅笔(粉笔)置于P处,于是随着拉链逐渐打开,铅笔(粉笔)就画出一条曲线,同理可画出另一支(如图). 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 显然所画的曲线不是椭圆,而是两条相同的曲线,只是位置不同,其原因都是应用了“到两定点的距离之差 |PF1|-|PF2|或|PF2|-|PF1|是同一个常数”这个条件. 问题1:在上述过程中,我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|的长度,如果截取的长度等于|F1F2|的长度, 其轨迹还是上述图形吗? 提示:不是,是以F1,F2为端点的两条射线. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1.双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之 等于常数 (大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作 .这两个定点F1,F2叫作双曲线的 ,两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的 . (1)如果没有绝对值,点的轨迹表示双曲线的 . 差的绝对值 双曲线 焦点 焦距 一支 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条 方向相反的 (包括端点). (3)当2a>|F1F2|时,动点的轨迹 . (4)当2a=0时,动点的轨迹为线段F1F2的 . 射线 不存在 垂直平分线 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 问题2:类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的平面直角坐标系,求出双曲线的标准方程?双曲线的标准方程有几种形式? 提示:观察画出的双曲线,发现它也具有对称性,而且直线F1F2是它的一条对称轴,所以(1)以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为 y轴,建立平面直角坐标系,此时双曲线的焦点分别为F1(-c,0), F2(c,0),焦距为2c,c>0. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)以F1F2所在直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 焦点 . . a,b,c的关系 b2= . 2.双曲线的标准方程 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) c2-a2 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2 师生互动 合作探究 双曲线的定义 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 解析:(1)由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20,又|AB|=4, 则|AF2|+|BF2|=16. 根据双曲线的定义,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|, 所以4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12,即a=3,所以m=a2=9.故选B. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (1)双曲线是两支,如果只是动点到两定点距离之差等于非零常数,则轨迹为双曲线的一支. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 解析:(1)由题意可得a=5,b=12,c=13, 因为 |PF2|=14<a+c=18,所以点P在双曲线C的下支上,则|PF1|-|PF2|=2a=10,故|PF1|=24.故选B. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)已知动圆M与两圆(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆M的圆心M的轨迹为　　　 　　　　　.  以两圆圆心为焦点的双曲线 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究