1.1.1-1.2 一次函数的图象与直线的方程&直线的倾斜角、斜率及其关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，北师大版）

第一章　直线与圆 §1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与 直线的方程 1.2　直线的倾斜角、 斜率及其关系 学习目标 1.经过直线和斜率概念的抽象过程,理解直线的倾斜角和斜率的概念,提升数学抽象素养. 2.通过对斜率公式的推导,掌握过两点的直线的斜率公 式,提高数形结合的能力,提升逻辑推理、直观想象素养. 3.通过了解直线的方向向量,理解直线的方向向量与直线斜率的关系,提升数学运算素养. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1 知识梳理 自主探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 探究:那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? 提示:坡度是用高度的平均变化率来刻画道路的倾斜程度的. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 问题1:如图,在平面直角坐标系中,过一点P(2,2)可以作出多少条直线?这些直线的区别在哪里呢?如何表示这些直线的方向呢? 提示:无数条.区别是它们的方向不同.这些直线相对于 x轴的倾斜程度不同,也就是它们与x轴所成的角不同.因 此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1.直线的倾斜角 定义 对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的 . 规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为 . 倾斜角 0 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 记法 α 图示 范围 . [0,π) 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 思考:是否每条直线都有倾斜角呢?如果有倾斜角,倾斜角唯一吗? 提示:每条直线都有倾斜角,并且每条直线的倾斜角都是唯一的. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 问题2:如图,A(x1,y1),B(x2,y2)是倾斜角为α的直线l上的两点,则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系? 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2.直线的斜率 为经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 3.直线的斜率与倾斜角的关系 tan α 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)斜率k与倾斜角α有如下关系: 当α∈ 时,斜率k≥0,且k随倾斜角α的增大而 . 当α∈ 时,斜率k<0,且k随倾斜角α的增大而 . 增大 增大 不存在 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 4.直线的方向向量 (x2-x1,y2-y1) (0,y2-y1) 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 做一做:(多选题)下列说法正确的是(　 　) A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率,则k∈R C.若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量 D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角 √ √ √ 解析:根据直线的倾斜角和斜率的概念可以判断A,B,C正确.故选ABC. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 若k是直线l的斜率,则 (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为 a=(0,1). (2)斜率存在时的直线的方向向量为a=(1,k). (3)任意直线的方向向量可表示为a=(cos θ,sin θ). 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2 师生互动 合作探究 直线的倾斜角 [例1] 求图中各直线的倾斜角. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 解:(1)如图①,可知∠OAB为直线l1的倾斜角.易知∠ABO=30°, 所以∠OAB=60°,即直线l1的倾斜角为60°. (2)如图②,可知∠xAB为直线l2的倾斜角,易知∠OBA=45°, 所以∠OAB=45°, 所以∠xAB=135°,即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图③,可知∠OAC为直线l3的倾斜角,易知∠ABO=60°, 所以∠BAO=30°, 所以∠OAC=150°, 即直线l3的倾斜角为150°. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的取值范围. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 [针对训练] (多选题)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α-45° √ √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 解析:根据题意,画出图形,如图所示. 通过图象可知,当0