3.3.2 抛物线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 抛物线的几何性质 1,3,4,10 直线与抛物线的位置关系 5,12 抛物线的弦 6,7,8 综合 2,9,11,13,14,15 基础巩固 1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在C上,且|PF|=5,若点M的坐标为(0,2),且MF⊥PM,则抛物线C的方程为(　A　) A.y2=4x或y2=16x B.y2=x或y2=8x C.y2=2x或y2=4x D.y2=x或y2=4x 解析:由抛物线的方程y2=2px(p>0)可得焦点F(,0), 设P(,y0),由抛物线的性质可得|PF|=+=5, 又因为·=0,即(,-2)·(,y0-2)=0, 整理可得-2y0+4=0,可得y0=4, 将y0=4代入+=5中, 整理可得p2-10p+16=0, 解得p=2或p=8, 所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x. 2.(多选题)已知抛物线x2=y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列结论正确的是(　BCD　) A.点F的坐标为(,0) B.若直线MN过点F,则x1x2=- C.若=λ(λ≠0),则|MN|的最小值为 D.若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点P到x轴的距离为 解析:易知点F的坐标为(0,),选项A错误;根据抛物线的性质知,MN过焦点F时,x1x2=-p2=-,选项B正确;若=λ,则MN过点F,则|MN|的最小值即抛物线通径的长,为2p,即,选项C正确;抛物线x2=y的焦点为(0,),准线方程为y=-,过点M,N,P分别作准线的垂线MM′, NN′,PP′,垂足分别为M′,N′,P′(图略),所以|MM′|=|MF|, |NN′|=|NF|. 所以|MM′|+|NN′|=|MF|+|NF|=,所以线段|PP′|==, 所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|-=-=,选项D正确. 3.已知抛物线C:y2=6x,过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点.若|PA|=|PB|,则直线l的斜率是(　A　) A.3 B.-3 C. D.- 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以整理得-=6(x1-x2). 因为|PA|=|PB|, 所以P是线段AB的中点, 所以y1+y2=2, 所以2(y1-y2)=6(x1-x2),即=3, 所以直线l的斜率是3. 4.过抛物线y2=4x的焦点,作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(　B　) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 解析:由抛物线定义知|AB|=5+2=7,因为|AB|min=4,所以这样的直线有且仅有两条. 5.已知抛物线C的焦点为F,准线为l,过F的直线m与C交于A,B两点,点A在l上的投影为D.若|AB|=|BD|,则等于(　A　) A. B.2 C. D.3 解析:过点B作BE⊥l,垂足为点E,作BH⊥AD,垂足为点H.因为AD⊥l,所以四边形BEDH为矩形, 所以|BE|=|DH|, 因为|AB|=|BD|, 所以|DH|=|AH|, 故|AD|=2|DH|=2|BE|, 由抛物线的定义可得 |AF|=|AD|,|BF|=|BE|, 所以|AF|=2|BF|,即=. 6.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为　　　　. 解析:由题意知,抛物线C的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),把点A,B的坐标代入抛物线方程得 ①-②得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).又y1+y2=4,所以==1.所以直线l的方程为y-2=x-2,即y=x. 答案:y=x 7.直线x-y-1=0与抛物线y2=4x交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 解析:因为抛物线方程为y2=4x,所以其焦点F(1,0),准线方程为x=-1, 所以直线x-y-1=0过点F, 联立直线方程与抛物线方程可得x2-14x+1=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=14, 根据抛物线的定义可得焦点弦AB的长度为 |AB|=(+x1)+(+x2)=p+x1+x2=2+14=16. 答案:16 8.设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3,求k的值. 解:由得4x2+(4k-4)x+k2=0,设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点. 当Δ=(4k-4)2-4×4k2>0, 即k<时,x1+x2=1-k,x1x2=, 所以|AB|= == =. 因为|AB|=3,所以=3, 解得k=-4. 能力提升 9.(多选题)已知抛物线C