3.2.2 双曲线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 双曲线的几何性质 1,6,7 离心率、渐近线 2,3,4,5,9 直线与双曲线的位置关系 11,14 综合 8,10,12,13,15 基础巩固 1.若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(2,0),则双曲线的标准方程为(　A　) A.-=1 B.-=1 C.x2-=1 D.y2-=1 解析:因为双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍, 所以2a+2b=2c,即a+b=c. 又双曲线的一个顶点的坐标为(2,0),所以a=2, 由a2=c2-b2可解得b=2,c=2, 所以双曲线的方程为-=1. 2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的顶点与焦点到C的一条渐近线的距离分别为 和2,则C的方程为(　D　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点F(±c,0)到渐近线bx±ay=0的距离为=b=2, 顶点A(±a,0)到渐近线bx±ay=0的距离为==, 由 解得a2=4,b2=12, 所以双曲线的方程为-=1. 3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为(　A　) A.x±y=0 B.x±y=0 C.3x±y=0 D.x±3y=0 解析:由题意可得e===2,则b2=7a2, 所以双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,即为x±y=0. 4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,双曲线上的点到焦点的最小距离为-3,则双曲线C的方程为(　D　) A.-y2=1 B.-y2=1 C.-y2=1 D.-y2=1 解析:因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为, 双曲线上的点到焦点的最小距离为-3, 由双曲线的几何性质可知, =,c-a=-3,解得c=,a=3, 所以b2=c2-a2=1, 所以双曲线的方程为-y2=1. 5.已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是(　B　) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(2,1+) D.(1,1+) 解析:若△ABE是锐角三角形, 则只需∠AEF<45°. 在Rt△AFE中,|AF|=,|FE|=a+c, 则<a+c, 又b2=c2-a2, 所以2a2-c2+ac>0, 所以e2-e-2<0, 所以-1<e<2.又因为e>1,所以1<e<2. 6.双曲线-y2=1的焦距是　　　　,渐近线方程是　　　　　.  解析:由题意得a=,b=1, c===, 所以焦距为2c=2, 渐近线方程为y=±x=±x. 答案:2　y=±x 7.写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程　　　　　　　. ①中心在原点,焦点在x轴上;②一条渐近线方程为y=x;③焦距大 于10. 解析:由①中心在原点,焦点在x轴上,②一条渐近线方程为y=x, 可设双曲线的标准方程为-y2=λ(λ>0), 由③可得>×10,解得λ>5, 不妨取λ=6, 可得双曲线的标准方程为-=1. 答案:-=1(答案不唯一) 8.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4,-1),圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行,求双曲线的标准方程. 解:因为点A与圆心O连线的斜率为-, 所以过点A的切线的斜率为4, 所以双曲线的渐近线方程为y=±4x. 设双曲线方程为x2-=λ(λ≠0). 因为点A(4,-1)在双曲线上, 所以16-=λ,λ=. 所以双曲线的标准方程为-=1. 能力提升 9.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的中心为坐标原点,焦点在y轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的(　AD　) A.离心率为 B.离心率为 C.两渐近线的夹角为60° D.两渐近线的夹角的正切值为 解析:由题意知,这条渐近线的斜率为, 即=,所以离心率e====. 渐近线的倾斜角α的正切值为tan α=,故两渐近线夹角的正切值为tan 2α==. 10.已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在双曲线上,则·等于(　C　) A.-12 B.-2 C.0 D.4 解析:由渐近线方程为y=x,知=1,所以b=.因为点P(,y0)在双曲线上,所以y0=±1.当y0=1时,P(,1),F1(-2,0),F2(2,0),所以·=0;当y0=-1时,P(,-1),·=0. 11.已知双曲线C:x2-y2=1和直线l:y=kx+1至多只有一个公共点,则实数k的取值范围是(　C　) A.[,+∞) B.(-∞,-]∪[,+∞) C.(-∞,-]∪[,+∞)∪{