3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

第2课时　直线与椭圆的位置关系 选题明细表 知识点、方法 题号 直线与椭圆的位置关系 2,5,9,13 弦的问题 4,14 直线与椭圆的综合问题 1,3,6,7,8,10, 11,12,15 基础巩固 1.椭圆C:+y2=1(m>1)的左、右焦点为F1,F2,经过F1的直线与椭圆C相交于A,B,若△ABF2的周长为8,则椭圆C的焦距为(　B　) A. B.2 C.2 D.4 解析:由题意△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+ |BF2|=2a+2a=8,解得a=2, 故m=a2=4,c==, 则椭圆C的焦距为2. 2.“a=1”是“直线y=x+a与椭圆C:+=1有公共点”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:由a=1,得直线y=x+1过点(0,1).又点(0,1)在椭圆C:+=1的内部,故a=1⇒直线y=x+a与椭圆C:+=1有公共点,而直线y=x+a与椭圆C:+=1有公共点不一定a=1.所以“a=1”是“直线y=x+a与椭圆C:+=1有公共点”的充分不必要条件. 3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线x-y+=0与椭圆C相交于不同的两点A,B,若P为线段AB的中点,O为坐标原点,直线OP的斜率为-,则椭圆C的方程为(　D　) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 解析:直线x-y+=0过点F, 令y=0,则x=-, 所以F(-,0),即c=. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则+=1,+=1, 两式相减并化简得-=·, 所以-=-×1⇒=⇒a2=2b2, c2=a2-b2=b2=3,b=,a=, 所以椭圆C的方程为+=1. 4.直线x-y+1=0被椭圆+y2=1所截得的弦长|AB|等于(　A　) A. B. C.2 D.3 解析:由得交点为(0,1),(-,-), 则|AB|==. 5.若直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为(　C　) A.1个 B.至多一个 C.2个 D.0个 解析:因为直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,所以>3,即m2+n2<9,所以+≤+<1, 即点(m,n)在椭圆+=1内, 所以过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为2个. 6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为60°的直线l1与过F2的直线l2交于点A,点A在椭圆上,且∠F1AF2= 90°,则椭圆C的离心率e=　　　　.  解析:因为l1与过F2的直线l2交于椭圆上点A,且∠F1AF2=90°, ∠AF1F2=60°, 所以∠AF2F1=30°,而|F1F2|=2c, 故|AF1|=c,|AF2|=c, 所以|AF1|+|AF2|=c+c=2a,故e=-1. 答案:-1 7.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若点A坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是　　　　. 解析:易知点A(3,0)是椭圆的右焦点. 因为·=0, 所以⊥. 所以||2=||2-||2=||2-1. 因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小, 故||min=2, 所以||min=. 答案: 8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为　　　　. 解析:由+=1可得点F(-1,0). 设点P(x,y),-2≤x≤2, 则·=x2+x+y2=x2+x+3(1-)=x2+x+3=(x+2)2+2, 当且仅当x=2时,·取得最大值6. 答案:6 能力提升 9.(多选题)直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的值可以是(　 BD　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由 可得(3+m)x2+4mx+m=0, 所以Δ=(4m)2-4m(3+m)>0, 解得m>1或m<0. 又因为m>0,且m≠3, 所以m>1,且m≠3. 10.已知椭圆C:+=1的右焦点是F,直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|2+2|BF|2的最小值是(　D　) A.36 B.48 C.72 D.96 解析:设椭圆C的左焦点为F′,如图所示, 在椭圆C中,a=6,b=2,则c==4, 由题意可知,点A,B关于原点对称,且O为FF′的中点, 所以四边形AFBF′为平行四边形, 所以|BF|=|AF′|, 由椭圆的定义可得 |AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=12, 因为k≠0, 所以a-c<|BF|<a+c,即2<|BF|<10, 所以|AF|2+2|BF|2=(12-|BF|)2+2|BF|2=3|BF|2-24|BF|