3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 椭圆几何性质与标准方程 1,3,4,7,11,15 椭圆离心率 2,5,8,12,13 综合 6,9,10,14 基础巩固 1.椭圆+=1的一个焦点坐标为(　D　) A.(7,0) B.(0,7) C.(1,0) D.(0,1) 解析:椭圆+=1的焦点在y轴上,a=5,b=2,c===1,所以椭圆的焦点坐标是(0,±1). 2.已知焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于(　A　) A.3 B.2 C.12 D.2 解析:因为焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,所以e==,解得m=3. 3.已知椭圆+=1与椭圆+=1(m<3),则这两个椭圆的(　B　) A.离心率相等 B.焦距相等 C.长轴长相等 D.短轴长相等 解析:由椭圆+=1可得c2=4-3=1, 由椭圆+=1(m<3),得c′2=4-m-(3-m)=1,所以两个椭圆的焦距相等. 4.设m,n为不相等的正实数,椭圆+=1的焦点分别为F1(0,2)与F2(0,-2).若此椭圆上存在点P使得△PF1F2为正三角形,则m+n等于(　C　) A.4+2 B.2 C.28 D.36 解析:要使△PF1F2为正三角形, 则|PF1|=|PF2|=|F1F2|=2c=4, 由椭圆的对称性且焦点在y轴上, 要使|PF1|=|PF2|=a==4, 则n=16,故m=n-c2=12, 则m+n=28. 5.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上一点P满足PF2⊥F1F2,且|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率为(　C　) A. B. C. D. 解析:因为PF2⊥x轴,可得P的横坐标为c,|PF2|=,所以|PF2|+|PF1|= =2a,即3b2=2a2,化简可得3(a2-c2)=2a2, 即a2=3c2,=,故e=. 6.已知椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线m交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为6,则b的值是　　　　, 椭圆的离心率为　　　　　. 解析:由题意得a=2,|AF2|+|BF2|≤6, 由椭圆的定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8, 所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥2, 又由椭圆的性质得,过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短,所以=2,解得b2=2, 故b=,c=,离心率e==. 答案:　 7.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为　　　　　　　　. 解析:由已知,2a=8,2c=2,所以a=4, c=,所以b2=a2-c2=16-15=1, 所以椭圆的标准方程为+x2=1. 答案:+x2=1 8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下顶点分别为B1,B2,l是过椭圆C的左顶点A,倾斜角为30°的直线,若以线段B1B2为直径的圆与直线l相切,则C的离心率为　　　　.  解析:由椭圆C:+=1(a>b>0),可得B1(0,b),B2(0,-b),A(-a,0), 因为l过A(-a,0),倾斜角为30°, 所以l的方程为y=tan 30°(x+a), 即x-3y+a=0, 因为以线段B1B2为直径的圆,其圆心为O(0,0),半径为r=b,又与直线l相切,所以d=r,即=b, 所以a=2b,故c2=a2-b2=3b2,则c=b, 所以C的离心率为e===. 答案: 能力提升 9.(多选题)椭圆C:+=1的右焦点为F,点P是椭圆C上的动点,则|PF|的值可能是(　BC　) A.1 B.3 C.4 D.8 解析:由椭圆C:+=1,可得a=4,b=2,c=2, 又椭圆C:+=1的右焦点为F,点P是椭圆C上的动点,则2=a-c≤|PF|≤a+c=6,|PF|的值可能是3,4. 10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F,点P是椭圆C上的一个动点,|PF|的最小值为 -1,且存在点P,使得△OPF(点O为坐标原点)为正三角形,则椭圆C的焦距为(　D　) A.2 B.2 C.2 D.4 解析:不妨设F为椭圆C的右焦点,F1为椭圆C的左焦点,连接PF1,如图所示, 当△OPF为正三角形时, 则|OF1|=|OF|=|OP|=|PF|=c, 所以△F1PF是直角三角形,所以|PF1|=c. 因为|PF|+|PF1|=c+c=2a, 所以e===-1. 因为|PF|的最小值为 -1, 所以a-c=-1, 所以c=2,椭圆C的焦距为4. 11.设F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,且焦距是4,过右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点,若△F1AB的周长是4,则椭圆的方程是　　　　　. 解