1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 选题明细表 知识点、方法 题号 异面直线所成的角 1,4,11 直线与平面所成的角 2,5,9 两个平面的夹角 (二面角) 3,6,12,14 综合 7,8,10,13 基础巩固 1.若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,4,0),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　D　) A.- B. C.- D. 解析:异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,4,0), 设异面直线l1与l2的夹角为θ, 则异面直线l1与l2的夹角的余弦值为cos θ===. 2.如图,直三棱柱ABCA1B1C1底面是直角三角形,AB⊥BC,且BC=AB= AA1,E,F,G分别为AB,CC1,A1C1的中点,则EF与平面B1GF所成角的正弦值为(　A　) A. B. C. D. 解析:根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=AB=AA1=2, 则E(0,1,0),F(2,0,1),B1(0,0,2),G(1,1,2), 所以=(2,-1,1),=(1,-1,-1),=(1,1,0), 设平面B1GF的法向量为n=(x,y,z), 则取n=(1,-1,2), 设EF与平面B1GF所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|==. 3.如图所示,已知点P为菱形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为(　D　) A. B. C. D. 解析:设AC∩BD=O,连接OF,以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设PA=AD=AC=1, 则BD=, 所以B(,0,0),F(0,0,),C(0,,0),D(-,0,0),O(0,0,0), 所以=(0,,0), 由题意OC⊥BD,OC⊥OF, 所以为平面BDF的一个法向量. 由=(-,,0),=(,0,-), 可得平面BCF的一个法向量为n=(1,,), 所以cos<n,>=,sin<n,>=, 所以tan<n,>=. 4.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,AB=BC=CD,E为AD的中点,则异面直线BE与CD所成角的余弦值为(　D　) A.0 B. C. D. 解析:由题可知,AB⊥平面BCD, BC=CD,且BC⊥CD, 所以△BCD为等腰直角三角形, 所以过点B作BD的垂线,则以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 过点C作CH⊥BD,垂足为H,易得△BCH为等腰直角三角形, 设AB=BC=CD=2, 则CH=BH=, C(,,0),D(0,2,0),E(0,,1),B(0,0,0), 所以=(0,,1),=(-,,0), 所以cos<,>===, 所以异面直线BE与CD夹角的余弦值为. 5.在四棱锥A1ABCD中,AA1⊥平面ABCD,AA1=4,底面是边长为4的菱形,且∠DAB=60°,E是AA1的中点,则CE与平面A1AB所成角的正切值为(　B　) A. B. C. D. 解析:连接BD,AC,交于点O, 分别以OB,OC所在直线为x轴、y轴,过点O平行于AA1的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,-2,0),E(0,-2,2),A1(0,-2,4),B(2,0,0), C(0,2,0),=(0,-4,2),=(0,0,4),=(2,2,0), 设平面A1AB的法向量为n=(x,y,z), 则令y=-1, 则n=(,-1,0), 设CE与平面A1AB所成的角为θ, 则sin θ=|cos<n,>|===, 所以cos θ=,tan θ===, 所以CE与平面A1AB所成角的正切值为. 6.已知二面角αlβ为锐角,平面α的一个法向量为n1=(,0,-1),平面β的一个法向量为n2=(-,1,),则cos<n1,n2>=　　　　,二面角αlβ的大小为　　　　.  解析:cos<n1,n2>====-. 设二面角αlβ为θ(0<θ<),故cos θ=-cos<n1,n2>=,解得θ=,故二面角αlβ的大小为. 答案:-　 7.如图,在底面边长均为2,高为1的长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为BC,C1D1的中点,则异面直线A1E,CF所成的角的大小为　　　　,平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为　　　　.  解析:以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则A1(2,0,1),E(1,2,0),C(0,2,0),F(0,1,1), 所以=(-1,2,-1),=(0,-1,1), 设异面直线A1E,CF所成