1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 选题明细表 知识点、方法 题号 点点距、点到直线的距离 1,2,3 点到平面的距离 4,6,9,12,13,15 线线距、线面距、面面距 5,7,8 综合 10,11,14,16 基础巩固 1.空间内有三点A(2,1,3),B(0,2,5),C(3,7,0),则点B到AC的中点P的距离为(　C　) A. B.5 C. D.3 解析:因为A(2,1,3),C(3,7,0),AC的中点P(,4,), 则点B到AC的中点P的距离为d==. 2.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为(　C　) A.1 B. C. D. 解析:建立如图所示空间直角坐标系, 则点E(1,1,),F(1,2,), 所以||==. 3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=6,=3,P,F分别是线段A1C,BB1的中点,则点P到直线EF的距离是(　A　) A. B. C. D. 解析:如图,以A为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz. 因为AB=6,P是A1C的中点,=3,F是BB1的中点, 所以P(3,3,3),E(2,0,0),F(6,0,3), 所以=(4,0,3),=(3,-3,0), 则点P到直线EF的距离d===. 4.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心,则点C到平面AEF的距离为(　A　) A. B. C. D. 解析:如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,易知A(0,0,0),E(1,1,2),F(1,2,1),C(2,2,0), 设平面AEF的法向量n=(x,y,z), 则 即 令y=-1,解得n=(3,-1,-1), 故点C到平面AEF的距离为==. 5.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　D　) A.a B.a C.a D.a 解析:由正方体的性质,AB1∥DC1,D1B1∥DB,AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D, 易得平面AB1D1∥平面BDC1, 则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离. 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),B1(a,a,a),D1(0,0,a), 连接A1C, 所以=(a,-a,a),=(0,-a,0), =(0,a,a),=(-a,-a,0). 由·=(a,-a,a)·(0,a,a)=0,·=(a,-a,a)· (-a,-a,0)=0, 且AB1∩B1D1=B1,可知A1C⊥平面AB1D1, 得平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1), 则两平面间的距离d=||==a. 6.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,且P(-2,1,4)到平面α的距离为,则x的值为　　　 　　　.  解析:=(x+2,2,-4),而d==, 即=,解得x=-1或-11. 答案:-1或-11 7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若M,N,P,Q分别为A1B1,BC, A1D1,DC的中点,则直线MN与直线PQ之间的距离为　　　　 . 解析:在正方体ABCDA1B1C1D1中,建立如图所示的空间直角坐标系, 则M(1,,1),N(,1,0),P(,0,1),Q(0,,0),=(,-,1), =(,-,1), 显然∥,而点P不在直线MN上, 则有MN∥PQ, 因此,直线MN与直线PQ之间的距离, 即为点P到直线MN的距离, 而=(,,0), 所以直线MN与直线PQ之间的距离 d===. 答案: 8.如图所示,若正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点,则直线AC到平面PEF的距离为　　　　.  解析:依题意,以点D为坐标原点,射线DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴非负半轴,建立空间直角坐标系,如图, 则A(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E(1,,0),F(,1,0), 则=(-1,1,0),=(-,,0),=(1,,-1), 设平面PEF的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即 令y=2,得n=(2,2,3), 显然n·=0,即n⊥, 而直线AC⊄平面PEF,则AC∥平面PEF, 因此直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面