1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 选题明细表 知识点、方法 题号 空间向量运算的坐标表示 1,2,9,11 平行、垂直 3,6,8 夹角、距离 4,5,7,13 综合 10,12,14,15 基础巩固 1.已知向量a=(1,2,1),b=(-1,0,4),则a+2b等于(　A　) A.(-1,2,9) B.(-1,4,5) C.(1,2,-7) D.(1,4,9) 解析:因为a=(1,2,1),b=(-1,0,4), 所以a+2b=(-1,2,9). 2.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且=3k,=-i+j-k,则点B的坐标为(　D　) A.(1,-1,1) B.(-1,1,1) C.(1,-1,2) D.(-1,1,2) 解析:由题意可知, =(0,0,3),=(-1,1,-1), 所以=-, 设B(x,y,z), 则(-1,1,-1)=(x,y,z-3), 解得x=-1,y=1,z=2, 故B(-1,1,2). 3.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(3,-6,3),且a⊥c,b∥c,则|a-b|等于(　B　) A. B.3 C.4 D.2 解析:由于a⊥c,所以3x-6+3=3x-3=0,x=1, 由于b∥c, 所以==,y=-2, 所以a=(1,1,1),b=(1,-2,1), a-b=(0,3,0), |a-b|=3. 4.已知a=(cos α,-1,sin α),b=(sin α,-1,cos α),则向量a+b与a-b的夹角为(　A　) A.90° B.60° C.30° D.0° 解析:a=(cos α,-1,sin α),b=(sin α,-1,cos α), 则a+b=(cos α+sin α,-2,sin α+cos α), a-b=(cos α-sin α,0,sin α-cos α), 则(a+b)·(a-b)=(cos2α-sin2α)+(sin2α-cos2α)=0, 故向量a+b与a-b垂直,即向量a+b与a-b的夹角为90°. 5.在空间直角坐标系中,B(-1,2,3)关于x轴的对称点为点B′,若点C(1,1,-2)关于Ozx平面的对称点为点C′,则|B′C′|等于(　B　) A. B. C. D. 解析:空间直角坐标系中,B(-1,2,3)关于x轴的对称点为点B′(-1,-2,-3),点C(1,1,-2)关于Ozx平面的对称点为点C′(1,-1,-2),所以|B′C′|==. 6.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面ABC,则=　　　　.  解析:因为⊥,所以·=0, 即1×3+5×1+(-2)z=0,所以z=4. 因为BP⊥平面ABC,所以⊥,且⊥, 即 解得 所以=(,-,-3). 答案:(,-,-3) 7.如图,在三棱锥PABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为　　　　.  解析:取AC的中点O,连接OP,OB, 因为PA=PC,所以AC⊥OP. 又因为平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC,OP⊂平面PAC, 所以OP⊥平面ABC, 又因为AB=BC,所以AC⊥OB, 以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 因为△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4, △ABC为等边三角形, 所以A(2,0,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),D(,,0), 所以=(-4,0,0),=(,,-2), 所以cos<,>===-. 所以异面直线AC与PD所成角的余弦值为. 答案: 8.已知空间有三点A(2,0,-1),B(0,4,1),C(5,2,4),若直线AB上存在一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为　　　　.  解析:设=λ,由=(-2,4,2), 得=λ=(-2λ,4λ,2λ), 故M(2-2λ,4λ,2λ-1), 则=(-2λ-3,4λ-2,2λ-5). 因为CM⊥AB, 所以·=-2(-2λ-3)+4(4λ-2)+2(2λ-5)=0,解得λ=, 所以M(1,2,0). 答案:(1,2,0) 能力提升 9.(多选题)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1), C(-1,1,-3),D(3,-5,3),以下说法正确的是(　AD　) A.=(-2,3,-3) B.=(-4,6,-6) C.AC的中点坐标为(-2,0,-1) D.四边形ABCD是一个梯形 解析:因为A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3), 所以=(-2,3,-3),=(4,-6,