3.2.2 双曲线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 学习目标 1.了解双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质,培养数学运算的核心素养. 2.理解双曲线的渐近线、离心率的意义及离心率和双曲线形状间的变化关系,提升直观想象的核心素养. 1.双曲线的几何性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 性 质 焦点 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c 范围 x≤-a或 x≥a, y∈R y≤-a或 y≥a, x∈R 对称 性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0), A2(a,0), B1(0,-b), B2(0,b) A1(0,-a), A2(0,a), B1(-b,0), B2(b,0) 轴 实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;实半轴长:a,虚半轴长:b 渐近 线 y=±x y=±x 离心 率 e=∈(1,+∞) 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为e=. [思考] 离心率刻画了双曲线的什么几何特征? 提示:离心率刻画了双曲线的“张口”大小.离心率越大,双曲线的“张口”越大,反之亦然. [做一做1] 双曲线y2-=1的实轴长为(　B　) A.2 B.2 C. D.1 解析:双曲线y2-=1的实轴长为2×1=2. [做一做2] 双曲线-=1的焦点坐标为　　　　,渐近线方程是　　　　　　　　.  答案:(±,0)　y=±x [做一做3] 已知双曲线-=1(b>0)的虚轴长为2,其离心率为　　　　.  解析:由双曲线-=1的虚轴长为2, 可得b=1, 又因为a=, 所以c=2, 所以双曲线-y2=1的离心率为 e===. 答案: 　双曲线的简单几何性质 [例1] 求下列双曲线的实轴和虚轴的长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程. (1)x2-7y2=7; (2)x2-2y2=-8. 解:(1)由x2-7y2=7,可得-y2=1, 所以a2=7,b2=1,c2=a2+b2=8, 即a=,b=1,c=2, 所以双曲线的实轴长为2a=2,虚轴长为2b=2,离心率为==, 焦点为(2,0),(-2,0),顶点坐标为(,0),(-,0),渐近线方程为y=±x. (2)由x2-2y2=-8,可得-=1, 所以a2=4,b2=8,c2=a2+b2=12, 即a=2,b=2,c=2, 所以双曲线的实轴长为2a=4,虚轴长为2b=4,离心率为==, 焦点为(0,2),(0,-2),顶点坐标为(0,2),(0,-2),渐近线方程为y=±x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决问题的关键; (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值; (3)由c2=a2+b2求出c值,从而得到双曲线的几何性质. [针对训练] (多选题)已知双曲线C:-=1,则下列结论正确的是(　　) A.C的焦点坐标为(0,±) B.C的渐近线方程为y=±x C.C的虚轴长为2 D.C的离心率为 解析:双曲线C:-=1, 可得a=3,b=,c=, 所以C的焦点坐标为(0,±),所以A不正确; C的渐近线方程为y=±x,所以B不正确; 虚轴长为2.所以C正确; 离心率为,所以D正确.故选CD. 　由双曲线的性质求双曲线的方程 [例2] (1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经过点P(,2),求双曲线的方程; (2)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(-3,2),求双曲线的方程; (3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6,求双曲线的方程. 解:(1)设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由题意知=. 又因为双曲线过点P(,2),所以-=1. 联立方程组解得 故所求双曲线方程为y2-=1. (2)设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0). 因为e=,所以e2===1+=, 所以=. 又因为双曲线过点M(-3,2),所以-=1. 联立方程组解得 所以所求双曲线方程为-=1. (3)设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),即-=1(λ≠0),由题意得a=3. 当λ>0时,=9,λ=36,双曲线方程为-=1; 当λ<0时,=9,λ=-81,双曲线方程为-=1. 故所求双曲线方程为-=1或-=1. (1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法,同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤.当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接