3.2.1 双曲线及其标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 学习目标 1.经历从具体情境中抽象出双曲线的模型,理解双曲线的概念,培养数学抽象与直观想象的核心素养. 2.掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题,培养数学运算的核心素养. 3.掌握双曲线的标准方程,了解双曲线标准方程的推导过程,提升数学运算的核心素养. 1.双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. [思考1] 在双曲线的定义中, (1)若常数=|F1F2|,则点P的轨迹是什么? (2)若常数>|F1F2|或常数为0呢? (3)若无绝对值,则点P的轨迹是什么? 提示:(1)若常数=|F1F2|,则点P的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线. (2)若常数>|F1F2|,则点P的轨迹不存在;若常数为0,则点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. (3)若无绝对值,则点P的轨迹是双曲线的一支. [做一做1] 已知双曲线-=1上一点P到焦点F1的距离为9,则它到另一个焦点F2的距离为(　D　) A.15 B.5 C.3或5 D.3或15 解析:由双曲线-=1可得a=3,b=4,则c=5, 由双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a=6, 因为|PF1|=9, 所以|9-|PF2||=6, 解得|PF2|=3或15, 即P到另一个焦点F2的距离为3或15. 2.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 焦点 坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c 的关系 c2=a2+b2 [思考2] 如何根据双曲线的方程确定焦点的位置? 提示:看x2,y2的系数的正负,如果x2的系数为正,则焦点在x轴上,并且分母为a2,反之焦点在y轴上. [做一做2] 若双曲线-的一个焦点为(3,0),则m等于(　A　) A.-2 B.-1 C.0 D.3 解析:因为双曲线-=1的一个焦点为(3,0),所以解得m=-2. 　求双曲线的标准方程 角度1　定义法 [例1] 已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程. 解:设动圆M的半径为r,圆心M(x,y),则由已知得|MC1|=r+, |MC2|=r-, 所以|MC1|-|MC2|=2. 又C1(-4,0),C2(4,0), 所以|C1C2|=8, 所以2<|C1C2|. 根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. 因为a=,c=4,所以b2=c2-a2=14, 所以动圆圆心M的轨迹方程是-=1(x≥). (1)用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是双曲线的一支,还是全部曲线. (2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. [针对训练] 已知圆C1:x2+(y-3)2=1和圆C2:x2+(y+3)2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆的圆心M的轨迹方程为　.  解析:由圆C1:x2+(y-3)2=1和圆C2:x2+(y+3)2=9, 得到C1(0,3),半径r1=1,C2(0,-3),半径r2=3, 设圆M的半径为r, 因为圆M与C1外切而又与C2外切, 所以|MC1|=r+1,|MC2|=3+r, 所以|MC2|-|MC1|=(r+3)-(1+r)=2<r1+r2, 满足双曲线的定义,是双曲线的一支,且a=1,c=3, 所以b2=c2-a2=8, 所以动圆圆心M的轨迹方程是y2-=1(y≥1). 答案:y2-=1(y≥1) 角度2　待定系数法 [例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2); (2)经过两点A(-7,-6),B(2,3). 解:(1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0), 则a=2,-=1,解得b2=16, 则双曲线的标准方程为-=1. (2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0), 则有解得 则双曲线的标准方程为-=1. 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位置.根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论. (2)设方程.根据焦点位置,设方程为-=1或-=1(a>0,b>0),焦点不确定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0). (3)寻关系.根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. (4)得方程.解方程组,将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求. [