3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

第2课时　直线与椭圆的位置关系 学习目标 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,提升数学运算的核心素养. 2.掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,会判断直线与椭圆的位置关系,培养直观想象的核心素养. 3.初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 直线与椭圆的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,椭圆方程为f(x,y)=0. 由消元, 如消去y后得px2+qx+m=0,则Δ=q2-4pm. ①当Δ>0时,直线与椭圆相交于不同的两点; ②当Δ=0时,直线与椭圆相切于一点; ③当Δ<0时,直线与椭圆相离,没有公共点. [做一做] 直线y=kx+1-k与椭圆+=1的公共点个数为　　　　.  解析:因为直线y=kx+1-k是恒过点(1,1)的直线系,由于+<1,所以点(1,1)是椭圆内部的一点,所以直线与椭圆恒有2个公共点. 答案:2 　直线与椭圆位置关系的判断 [例1] 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)讨论直线l与椭圆C的位置关系以及公共点个数. 解:(1)由题意椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,可知b=,e==,b==,解得a=2,c=, 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)由可得9x2+8mx+2m2-4=0, Δ=64m2-36(2m2-4)=-8m2+144, 当Δ=-8m2+144=0,即m=±3时,直线l与椭圆C相切,只有一个公共点; 当Δ=-8m2+144>0,即-3<m<3时,直线l与椭圆C相交,有两个公共点; 当Δ=-8m2+144<0,即m<-3或m>3时,直线l与椭圆C相离,无公共点. 综上所述,当m=±3时,直线l与椭圆C相切,只有一个公共点; 当-3<m<3时,直线l与椭圆C相交,有两个公共点; 当m<-3或m>3时,直线l与椭圆C相离,无公共点. 判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. [针对训练] 若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,求实数m的取值范围. 解:法一　由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上,知0<m<5. 又因为直线与椭圆总有公共点,所以直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上, 所以+≤1,即m≥1, 故实数m的取值范围是[1,5). 法二　由椭圆方程及椭圆焦点在x轴上,知0<m<5.由 得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0. 又直线与椭圆总有公共点,所以上述方程的判别式Δ≥0对一切k都成立, 即(10k)2-4(m+5k2)×5(1-m)≥0, 亦即5k2≥1-m对一切k都成立, 所以1-m≤0,即m≥1. 故实数m的取值范围是[1,5). 　弦长问题 [例2] 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程. 解:(1)由消去y, 得5x2+2mx+m2-1=0. 因为直线与椭圆有公共点,所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,解得-≤m≤. 所以实数m的取值范围是[-,]. (2)设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2). 由(1)及根与系数的关系得 x1+x2=-m,x1x2=, 所以|AB|= = = = = =. 因为Δ=4m2-20(m2-1)>0,所以-<m<,所以当m=0时,|AB|最大,此时直线方程为y=x. 求弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. (2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长公式: |AB|= =,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. [针对训练] 椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为　　　　.  解析:由 消去y并化简,得x2+2x-6=0. 设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=-2,x1x2=-6. 所以弦长|MN|=|x1-x2| = ==. 答案: 　中点弦问题 [例3] 已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,求直线l的方程. 解:法一　由题意可设直线l的方程为 y-2=k(x-