2.5.1 第2课时 直线、圆的方程的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

第2课时　直线、圆的方程的应用 学习目标 1.能正确理解直线与圆的方程,培养数学抽象的核心素养. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题,提升数学建模、数学运算的核心素养. 3.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”,强化数学运算的核心素养. 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论. [思考] 建立适当的平面直角坐标系应遵循哪些原则? 提示:①若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴. ②常选特殊点作为平面直角坐标系的原点. ③尽量使已知点位于坐标轴上. 　直线与圆的方程的实际应用 [例1] 已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,求B城市处于危险区内的时间. 解:如图,以A为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐 标系. 射线AC为∠xAy的平分线,则台风中心在射线AC上移动,点B到AC的距离为20 km. 则射线AC被以B为圆心, 以30 km为半径的圆截得的弦长为2=20(km). 所以B城市处于危险区内的时间为t==1(h). 解直线与圆的方程的实际应用问题的步骤 (1)审题:认真审题,明确题意,从题目中抽象出几何模型,明确已知量和未知量; (2)建系:建立平面直角坐标系,求出相关各点的坐标,用方程表示 曲线; (3)求解:利用直线与圆的方程的有关知识求解问题; (4)还原:将运算结果还原到实际问题中. [针对训练] 为了开发古城旅游观光,镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥,河面跨度AB为32 m,拱桥顶点C离河面8 m. (1)如果以跨度AB所在直线为x轴,以AB中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,试求出该圆形拱桥所在圆的方程; (2)现有游船宽8 m,船顶离水面7 m,为保证安全,要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5 m.问:这条船能否顺利通过这座拱桥?并说出理由. 解:(1)B(16,0),C(0,8),设圆心(0,b), 圆的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0), 由圆过点B,C可得 解得b=-12,r=20, 所以圆形拱桥所在圆的方程为x2+(y+12)2=400. (2)可设船右上角竖直方向高0.5 m处点为P(4,7.5), 代入圆方程左端得396.25<400, 所以点P在圆内,故船可以通过. 　与圆有关的最值问题 [例2] 已知点(x,y)在圆C(x-2)2+(y+3)2=1上. (1)求x+y的最大值; (2)求的最大值; (3)求的最小值. 解:(1)设x+y=z,则x+y-z=0, 当直线和圆相切时,圆心C(2,-3)到直线的距离d==1, 得|z+1|=,解得z=-1或z=--1, 故x+y的最大值为 -1. (2)设k=,则直线方程为kx-y=0(x≠0), 当直线和圆相切时,圆心C(2,-3)到直线的距离d==1, 即3k2+12k+8=0, 解得k=或k=, 故的最大值为. (3)=, 则根式的几何意义为圆上点到定点D(-1,2)的距离, 则|CD|==, 则的最小值为-1. 与圆有关的最值问题的两种求法 (1)几何法:①mx+ny的最值:设mx+ny=t,圆心C(a,b)到直线mx+ny=t的距离为d=,由d=r即可解得两个t值,一个为最大值,一个为最小值. ②的最值:即点P与原点连线的斜率,数形结合可求得斜率的最大值和最小值. (2)代数法:①mx+ny的最值:设mx+ny=t,与圆的方程联立,化为一元二次方程,由判别式等于0,求得t的两个值,一个为最大值,一个为最小值. ②的最值:设t=,则y=tx(x≠0),与圆的方程联立,化为一元二次方程,由判别式等于0,求得t的两个值,一个为最大值,一个为最小值. [针对训练] (多选题)实数x,y满足x2+y2+2x=0,则下列关于的判断正确的是(　　) A.的最大值为 B.的最小值为- C.的最大值为 D.的最小值为- 解析:由题意可得方程x2+y2+2x=0是圆心为C(-1,0),半径为1的圆, 则为圆上的点与定点P(1,0)连线的斜率, 设过点P(1,0)的直线为y=k(x-1), 即kx-y-k=0, 则圆心到直线kx-y-k=0的距离d=1,即=1,整理可得3k2=1, 解得k=±, 所以∈,即的最大值为,最小值为-. 故选CD. 　过直线与圆的交点的圆系 　方程 [例3] 求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程: (1)过原点; (2)有最小