2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 学习目标 1.理解直线与圆的三种位置关系,培养直观想象的核心素养. 2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 3.能解决有关直线与圆的位置关系的问题,强化数学运算的核心 素养. 　　早晨的日出非常美丽,如果我们把海平面看成一条直线,而把太阳抽象成一个运动着的圆,观察太阳缓缓升起的这样一个过程,你能想象到什么几何知识呢? 探究:太阳升起的过程可以体现出直线与圆有几种位置关系呢? 答案:三种:相交、相切、相离. 1.直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判断方式 (1)代数法. 在平面直角坐标系中,要判断直线l:Ax+By+C=0与圆C: (x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系,可以联立它们的方程,通过判定方程组的解的个数,得出直线与圆的公共点的个数,进而判断直线与圆的位置关系.若相交,可以由方程组解得两交点坐标,利用两点间的距离公式求得弦长. (2)几何法. 根据圆的方程求得圆心坐标与半径r,从而求得圆心到直线的距离d,通过比较 d与r的大小,判断直线与圆的位置关系.若相交,则可利用勾股定理求得弦长. [思考] 将直线方程代入圆的方程消去x(或y),得到一个一元二次方程,设该方程的判别式为Δ,如何利用Δ判断直线与圆的位置关系? 提示:Δ>0,相交;Δ=0,相切;Δ<0,相离. [做一做1] 以点(-3,1)为圆心,且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是(　D　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-3)2+(y+1)2=1 D.(x+3)2+(y-1)2=1 解析:设圆的半径为r, 则由题意知r==1, 故圆的方程为(x+3)2+(y-1)2=1. [做一做2] 直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为(　C　) A. B. C.2 D.3 解析:因为圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为 r=2, 且圆心到直线x-y+2=0的距离为d==,所以直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2=2=2. 　直线与圆的位置关系的判断 [例1] 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当实数m为何值时,圆与直线: (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. 解:法一　将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,且Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 法二　已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为(2,1),半径r=2,圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离为 d==. (1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公 共点. (3)当d>2,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是圆心到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. [针对训练] (1)圆x2+(y+1)2=1与直线x+2y+3=0的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 (2)直线x+my+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=9的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.与m的值有关 解析:(1)由已知可得圆的圆心为C(0,-1),半径为r=1,圆心C到直线x+2y+3=0的距离d==<1,所以直线与圆的位置关系为相交.故选A. (2)直线x+my+m=0,即x+m(y+1)=0,因此直线x+my+m=0恒过定点A(0,-1),因为(0-1)2+(-1-1)2=5<9,所以点A在圆(x-1)2+(y-1)2=9内,所以直线x+my+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=9相交.故选A. 　弦长问题 [例2] 直线l经过点P(5,5)并且与圆C:x2+y2=25相交截得的弦长为4,