2.4.2 圆的一般方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.4.2　圆的一般方程 学习目标 1.理解圆的一般方程及其特点,培养数学抽象的核心素养. 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化,提升数学运算的核心素养. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程,强化数学运算与逻辑推理的核心素养. 圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(*) 将方程(*)的左边配方,并把常数项移到右边, 得(x+)2+(y+)2=. (1)当D2+E2-4F>0时,方程(*)表示以(-,-)为圆心,为半径的圆; (2)当D2+E2-4F=0时,方程(*)只有实数解x=-,y=-,它表示一个点(-,-); (3)当D2+E2-4F<0时,方程(*)没有实数解,它不表示任何图形. 因此,当D2+E2-4F>0时,方程(*)表示一个圆.我们把方程(*)叫做圆的一般方程. [思考1] 圆的一般方程的形式有什么特点? 提示:①x2,y2的系数都为1; ②没有xy项; ③D2+E2-4F>0. [思考2] 圆的标准方程与一般方程之间的关系是什么? 提示:将圆的一般方程配方得到圆的标准方程,将圆的标准方程展开得到圆的一般方程. [做一做] 圆C的方程为x2+y2-4x+6y+4=0,则圆心C的坐标为　　　　,半径为　　　　.  解析:由圆C的方程为x2+y2-4x+6y+4=0,整理得(x-2)2+(y+3)2=9, 故该圆的圆心为(2,-3),半径为3. 答案:(2,-3)　3 　圆的一般方程的形式特点 [例1] 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心和半径. (1)x2+y2=0; (2)x2+y2-2x+4y-6=0; (3)x2+y2-2x-2y-3=0; (4)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0. 解:(1)不是圆,因为x2+y2=0表示点(0,0),而不是圆. (2)是圆,方程可化为(x-1)2+(y+2)2=11,所以圆心(1,-2),半径为. (3)是圆,方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,所以圆心(1,1),半径为. (4)法一　因为D=-4m,E=2m,F=20m-20, 所以D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2, 当m=2时,它表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆,此时圆心为(2m,-m), 半径r==|m-2|. 法二　原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,当m=2时,它表示一 个点; 当m≠2时,原方程表示一个圆,其圆心为(2m,-m),半径r=|m-2|. 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,即①x2与y2的系数相等;②不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数即可. [针对训练] (1)已知方程x2+y2+x+2y+2=0表示圆,则实数m的取值范围为(　　) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(3,+∞) D.(4,+∞) (2)若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,且圆的面积为π,则圆心坐标为　　　　.  解析:(1)因为方程x2+y2+x+2y+2=0表示圆,所以+22-4×2>0,解得m>4.故选D. (2)因为圆x2+y2+kx+2y+k2=0的面积为π,所以圆的半径为1,即=×=1,所以k=0,所以圆的方程为x2+y2+2y=0,得圆心坐标为(0,-1). 答案:(1)D　(2)(0,-1) 　求圆的一般方程 [例2] 已知圆M经过三点A(2,1),B(4,3),C(-2,3). (1)求圆M的一般方程; (2)若点(2,m)在圆M上,求实数m的值. 解:(1)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将A(2,1),B(4,3),C(-2,3)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0, 可得 解得D=-2,E=-8,F=7, 故所求圆的方程为x2+y2-2x-8y+7=0. (2)由(1)知圆M的方程为x2+y2-2x-8y+7=0,因为点(2,m)在圆M上,所以22+m2-2×2-8m+7=0,即m2-8m+7=0,解得m=1或7. 用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F. [针对训练] 已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程. 解:法一(待定系数法)　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点P,Q的坐标分别代入上式, 得 把x=0代入