2.4.1 圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 学习目标 1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征,提升学生的数学抽象的核心素养. 2.能根据所给条件求圆的标准方程,强化学生的数学运算的核心 素养. 3.掌握点与圆的位置关系,提升直观想象的核心素养. 我们知道,平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆,其中定点是圆心,定长是圆的半径.在平面直角坐标系中,每一条直线都可以用一个二元一次方程来表示. 探究:平面直角坐标系中的一个圆,是否也可以用方程表示呢? 答案:可以. 1.圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.在平面直角坐标系中,如果一个圆的圆心坐标和半径确定了,圆就唯一确定了. 2.圆的标准方程 (1)在平面直角坐标系中,☉A的圆心A的坐标为(a,b),半径为r, M(x,y)为圆上任意一点,☉A就是以下点的集合P={M||MA|=r}. (2)(x-a)2+(y-b)2=r2.① 若点M(x,y)在☉A上,点M的坐标就满足方程①;反过来,若点M的坐标(x,y)满足方程①,就说明点M与圆心A间的距离为 r,点M就在☉A上.把方程①称为圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程. [思考] 确定一个圆的最基本几何要素是什么? 提示:圆心与半径. [做一做] 圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5,则圆心坐标为　　　, 半径为　　　　.  解析:因为圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5, 所以圆心坐标为(2,-1),半径为. 答案:(2,-1)　 　求圆的标准方程 [例1] 已知圆过点A(1,-2),B(-1,4). (1)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程; (2)若圆心的纵坐标为2,求圆的标准方程. 解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则有解得 所以所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20. (2)设所求圆的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=n2(n>0), 则有解得 所以所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20. 确定圆的标准方程有两种方法 (1)几何法:它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程. [针对训练] 已知点A(2,1),B(-4,5),则以线段AB为直径的圆的方程为(　　) A.(x+1)2+(y-3)2=13 B.(x+1)2+(y-3)2=52 C.(x-1)2+(y+3)2= D.(x-1)2+(y+3)2=2 解析:已知点A(2,1),B(-4,5), 则AB的中点坐标为(-1,3), |AB|==2, 即以线段AB为直径的圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=13.故选A. 　判断点与圆的位置关系 [例2] 已知a,b是方程x2-x-=0的两个不等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 解析:由题意得a+b=1,ab=-,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8. 所以点P(a,b)在圆C内.故选A. 点与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较. (2)代数法:直接利用下面的不等式判定: ①(x0-a)2+(y0-b)2>r2,点在圆外; ②(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上; ③(x0-a)2+(y0-b)2<r2,点在圆内. [针对训练] 若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部,则实数m的取值范围是(　　) A.(25,+∞) B.(5,+∞) C.(0,25) D.(0,5) 解析:根据题意,圆(x-3)2+(y+4)2=m的圆心为(3,-4),半径为, 必有m>0, 若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部, 则有(0-3)2+(0+4)2>m,即m<25. 综上可得0<m<25.故选C. 　最值问题 [例3] (1)已知x,y满足x2+(y+4)2=4,求的最大值与最小值; (2)若P(x,y)是圆C(x-3)2+y2=4上任意一点,请求出P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值. 解:(1)由题意得,圆x2+(y+4)2=4的圆心C(0,-4),半径r=2, 因此表示点A(-1,-1)与该圆上点的距离. 因为|AC|2=(-1)2+(-1+4)2>4, 所以点A(-1,-1)在圆外,如图所示, 而|AC|==, 所以的最大值为|AC|+r=+2,最小值为|AC|-r=-2. (2)P(x,y)是圆C上的任意一点,而圆C的半径