2.3.2 两点间的距离公式-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.3.2　两点间的距离公式 学习目标 1.掌握两点间的距离公式及应用,提升数学运算的核心素养. 2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题,提升直观想象的核心 素养. 两点间的距离公式 平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式 |P1P2|=. [思考] (1)当P1P2⊥y轴时,|P1P2|等于多少? (2)当P1P2⊥x轴时,|P1P2|等于多少? (3)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|等于多少? 提示:(1)|P1P2|=|x1-x2|.(2)|P1P2|=|y1-y2|. (3)|OP|=. [做一做1] 已知点A(2,4),B(5,4),那么A,B两点之间的距离等于(　C　) A.8 B.6 C.3 D.0 解析:点A(2,4),B(5,4),A,B两点之间的距离=3. [做一做2] 点M1(2,-5)与M2(5,y)之间的距离是5,则y等于(　C　) A.-9 B.-1 C.-9或-1 D.12 解析:由题意=5,即(y+5)2=16,解得y=-1或y=-9. 　求两点间的距离 [例1] 若直线l1:3x-y=0与l2:x+y-4=0交于点A,且B(2,0),则|AB|=　　　　　.  解析:联立解得 故A(1,3),又B(2,0), 则|AB|==. 答案: 求两点间的距离的基本思路 任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式为|AB|=.当两点确定的直线垂直于x轴或y轴时,A,B间的距离可直接用两点的纵坐标或横坐标之差的绝对值求出. [针对训练] 直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 解析:由题意得P(1,1),Q(5,5), 所以|PQ|==4.故选B. 　两点间的距离公式的逆向运用 [例2] 已知直线l1:x+y-2=0,直线l2过点A(-2,0)且与直线l1平行. (1)求直线l2的方程; (2)点B在直线l1上,若|AB|=4,求点B的坐标. 解:(1)因为直线l2与直线l1平行, 所以设直线l2:x+y+m=0(m≠-2), 因为直线l2过点A(-2,0), 所以-2+0+m=0, 所以m=2. 因此直线l2的方程为x+y+2=0. (2)因为点B在直线l1上, 所以可设B(x,2-x), 因为|AB|=4,所以=4, 所以x2=4,x=±2, 即点B的坐标为(2,0)或(-2,4). 在解决求已知直线上一点使其到某定点的距离为定值的问题时,应当注意:设已知直线上的点的坐标时,不要设两个未知数,设横坐标为a,纵坐标用a表示(或设纵坐标为a,横坐标用a表示),由两点间的距离公式列出关于a的一元方程即可,避免了列二元方程组的麻烦;已知距离求点的坐标时,一般有两解,某些题目中只有一解. [针对训练] 已知点M(-1,4),N(7,0),y轴上一点P满足|PM|=|PN|,那么点P的坐标为(　　) A.(0,-3) B.(0,-4) C.(0,-6) D.(0,-7) 解析:由于点P在y轴上,设P(0,b), 又M(-1,4),N(7,0),|PM|=|PN|, 所以=, 解得b=-4, 故点P的坐标为(0,-4).故选B. 　利用两点间的距离公式判断三角形形状 [例3] 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状. 解:法一　因为|AB|===2, |AC|===2, |BC|===2, 所以|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2, 所以△ABC是等腰直角三角形. 法二　因为kAC==, kAB==-, 所以kAC·kAB=-1, 所以AC⊥AB. 又|AC|===2, |AB|===2, 所以|AC|=|AB|. 所以△ABC是等腰直角三角形. 利用两点间的距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时,利用两点间的距离公式求三边长,从边长间的关系入手,如果边长相等,则可能是等腰或等边三角形;如果满足勾股定理,则是直角三角形. [针对训练] 如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(4,3),B(1,2),C(3,-4). (1)试判断△ABC的形状; (2)设点D为BC的中点,求BC边上中线的长. 解:(1)根据两点间的距离公式, 得|AB|==, |BC|==2, |CA|==5, 因为()2+(2)2=(5)2, 即|AB|2+|BC|2=|CA|2, 所以△ABC是直角三角形. (2)依题意,线段BC的中点D(2,-1), |AD|==2, 所以BC边上中线的长为2. 　坐标法的应用 [例4] 已知Rt△ABC,∠B为直角,AB=a,BC=b,建立适当的坐标系,写出顶点A,B,C