2.3.1 两条直线的交点坐标-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,提升数学运算的核心素养. 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 两条直线的交点坐标 　设l1,l2两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. [思考] 如何判定方程组解的个数? 提示:①×B2-②×B1,得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0. 若A1B2-A2B1=0,B2C1-B1C2=0,则方程组有无穷多解. 若A1B2-A2B1=0,B2C1-B1C2≠0,则方程组无解. 若A1B2-A2B1≠0,方程组有唯一一组解. [做一做1] 直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为(　A　) A.(2,3) B.(-2,-3) C.(0,1) D.(0,0) 解析:由解得则直线x=2与直线y=x+1的交点坐标为(2,3). [做一做2] 直线l经过原点,且经过直线2x-2y-1=0与直线4x-2y-3=0的交点,则直线l的方程为　　　　.  解析:联立解得x=1,y=, 故所求直线斜率k=,所求直线方程为y=x. 答案:x-2y=0 　两条直线相交的判定和求交点问题 [例1] 判断下列各组直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标. (1)l1:5x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0; (2)l1:2x-6y+3=0,l2:y=x+; (3)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0. 解:(1)解方程组得 所以直线l1与l2相交,且交点坐标为(-,). (2)联立直线l1与l2的方程得方程组②×6,整理得2x-6y+3=0,即方程②可以化为方程①,所以l1与l2重合. (3)联立直线l1与l2的方程得方程组由①×2-②,得1=0,则方程组无解.所以l1与l2无公共点,即l1∥l2. 用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解. 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线重合. [针对训练] 判断下列直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标. (1)直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+7=0; (2)直线l1:2x-3y+a2+1=0和直线l2:4x-6y+a=0. 解:(1)由 解得x=-1,y=3. 所以直线l1:2x+y-1=0和直线l2:x-2y+7=0相交,交点坐标是(-1,3). (2)将直线l1:2x-3y+a2+1=0和直线l2:4x-6y+a=0化为斜截式可知, 直线l1:y=x+,直线l2:y=x+, 因为直线l1和直线l2的斜率相等,=无解, 所以两直线平行. 　求过两条直线交点的直线方程 [例2] 求经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点,且平行于直线x-y+4=0的直线方程. 解:法一　解方程组得两直线的交点坐标为(-1,-1). 又因为所求直线与x-y+4=0平行, 故直线的斜率为1.于是由直线的点斜式方程求得y-(-1)=x-(-1),即x-y=0. 法二　因为所求直线与直线x-y+4=0平行, 所以可设所求直线为x-y+c=0(c≠4). 又因为该直线过直线3x-2y+1=0与直线x+3y+4=0的交点(-1,-1),代入x-y+c=0, 得-1-(-1)+c=0,即c=0, 故所求直线方程为x-y=0. 法三　因为所求直线经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点,所以可设直线方程为3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0, 即(3+λ)x-(2-3λ)y+1+4λ=0. 又因为所求直线与直线x-y+4=0平行, 因此=1(λ≠),解得λ=-, 所以所求直线方程为3x-2y+1-(x+3y+4)=0,即x-y=0. [变式探究] 将本例条件中的“平行”改为“垂直”,其他条件不变,求直线的方程. 解:法一　解方程组得两直线的交点坐标为(-1,-1),设所求直线为x+y+c=0. 又因为该直线过点(-1,-1), 所以-1+(-1)+c=0,即c=2, 故所求直线方程为x+y+2=0. 法二　因为所求直线经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点, 所以可设直线方程为 3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0, 即(3+λ)x-(2-3λ)y+1+4λ=0. 又因为所求直线与直线x-y+4=0垂直, 因此=-1(λ≠),解得λ=, 故所求直线方程为x+y+11