2.2.3 直线的一般式方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.2.3　直线的一般式方程 学习目标 　根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(一般式),提升直观想象与数学运算的核心素养. 直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程. 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. (2)因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,所以这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合组成一条直线. 在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线;反之,直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. [思考] 在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线: ①平行于x轴?②平行于y轴?③与x轴重合?④与y轴重合? 提示:①A=0且B≠0,C≠0. ②B=0且A≠0,C≠0. ③A=0且B≠0,C=0. ④B=0且A≠0,C=0. [做一做] 过点(-1,2)与(3,5)的直线的一般式方程为　　　　.  解析:由题意可得直线的斜率为=, 所以直线方程为y-2=(x+1), 整理得3x-4y+11=0. 答案:3x-4y+11=0 　求直线的一般式方程 [例1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率是,且经过点A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=(x-5),化为一般式方程为x-y+3-5=0. (2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,化为一般式方程为4x-y-2=0. (3)由两点式方程可知, 所求直线方程为=, 化为一般式方程为2x+y-3=0. (4)由截距式方程可得, 所求直线方程为+=1, 化为一般式方程为x+3y+3=0. 求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项顺序排列. 注意:要注意斜率不存在或者为0时的情况. [针对训练] 根据下列条件分别写出直线方程,并化为一般式方程. (1)经过点B(-,2),倾斜角是30°; (2)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程; (3)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程; (4)求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程. 解:(1)因为直线经过点B(-,2),倾斜角是30°,所以斜率为, 所以直线的点斜式方程为y-2=(x+), 即x-3y+6+=0. (2)设所求直线的斜率为k, 依题意k=-4×=-, 又直线经过点A(1,3),所以所求直线方程为y-3=-(x-1), 即4x+3y-13=0. (3)当直线不过原点时, 设所求直线方程为+=1, 将(-5,2)代入可得+=1,解得a=-, 所以直线方程为x+2y+1=0; 当直线过原点时,设直线方程为y=kx, 则-5k=2,解得k=-, 所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0. (4)①当m=2时,直线l的方程为x=2; ②当m≠2时,直线l的方程为=, 即2x-(m-2)y+m-6=0, 因为m=2时, 代入方程2x-(m-2)y+m-6=0, 得x=2, 所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0. 　直线方程几种形式的相互转化及其应用 [例2] 设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),若直线l的斜率为-1,则k= ;若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0,则k= . 解析:因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y=-x+2,由题意得-=-1,解得k=5. 直线l的方程可化为+=1, 由题意得k-3+2=0,解得k=1. 答案:5　1 (1)直线的一般式方程Ax+By+C=0中要求A,B不同时为0. (2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了);反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程,注意斜截式、截距式方程的适用条件. (3)解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和在y轴上的截距作出判断. [针对训练] 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),若l不经过第二象限,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:将直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2, 则所以a≤-1. 答案:(-∞,-