2.2.2 直线的两点式方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.2.2　直线的两点式方程 学习目标 　根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(两点式、截距式),提升直观想象与数学运算的核心素养. 1.两点式方程 (1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线的方程为=,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式. (2)在P1(x1,y1),P2(x2,y2)中,如果x1=x2或y1=y2,则直线P1P2没有两点式方程.当x1=x2时,直线P1P2垂直于x轴,直线方程为x-x1=0,即x=x1;当y1=y2时,直线P1P2垂直于y轴,直线方程为y-y1=0,即y=y1. [思考1] 两点式方程=(x1≠x2,y1≠y2)不能表示哪些类型的直线? 提示:不能表示垂直于x轴或y轴的直线. [做一做1] 过点(1,2),(5,3)的直线方程是(　B　) A.x+4y+7=0 B.x-4y+7=0 C.4x+y+7=0 D.4x-y+7=0 解析:因为所求直线过点(1,2),(5,3),所以直线方程为=,即x-4y+7=0. 2.截距式方程　 把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距,此时设B(0,b),则直线l在y轴上的截距是b(a≠0,b≠0).方程+=1由直线l在两条坐标 轴上的截距a与b确定,我们把方程+=1叫做直线的截距式方程,简称截距式. [思考2] 截距式方程+=1(ab≠0)不能表示哪些类型的直线? 提示:不能表示垂直于x轴或y轴的直线,也不能表示经过坐标原点的直线. [做一做2] 在x轴、y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是(　B　) A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0 C.4x+3y-1=0 D.4x-3y+1=0 解析:根据直线的截距式方程可得,在x轴、y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是+=1,即4x-3y+12=0. 　直线的两点式方程 [例1] 已知三角形的三个顶点是A(-1,0),B(3,-1),C(1,3),求三角形三边所在直线的方程. 解:由两点式,得AB边所在直线的方程为=,即x+4y+1=0. 同理,BC边所在直线的方程为=, 即2x+y-5=0. AC边所在直线的方程为=,即3x-2y+3=0. 已知两点求直线方程的方法(或思路) 已知直线上两点的坐标求直线方程时,若满足两点式方程的适用条件,可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程,化简即得.代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数,需注意对参数的讨论.在斜率存在的情况下,也可以选用斜率公式求出斜率,再用点斜式求方程. [针对训练] 已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC边上的中点. (1)求AB边所在的直线方程; (2)求中线AM的方程. 解:(1)由直线的两点式方程得=, 即6x-y+11=0. (2)设M的坐标为(x0,y0),则由中点坐标公式可得x0==1,y0==1,故M(1,1), 直线AM方程为=, 所以直线AM方程为2x+y-3=0. 　直线的截距式方程 [例2] 经过点P(2,3),并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为　 . 解析:①当直线在x轴、y轴上的截距都为零时,直线的斜率k==,所以直线方程为y=x,即3x-2y=0; ②当直线在x轴、y轴上的截距都不为零时,设直线方程为+=1 (a≠0),将点P代入得+=1,解得a=,所以直线方程为+=1,即2x+y-7=0. 答案:3x-2y=0或2x+y-7=0 求直线的截距式方程的方法 (1)由已知条件确定直线在x轴、y轴上的截距. (2)若两截距为零,则直线过坐标原点,直接写出方程即可;若两截距不为零,则代入公式+=1,可得所求的直线方程. 注意:如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件,采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. [针对训练] 求过点A(3,4),且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解:①当直线l在坐标轴上的截距互为相反数,且不为0时,可设直线l的方程为+=1. 又直线l过点A(3,4),所以+=1, 解得a=-1. 所以直线l的方程为+=1,即x-y+1=0. ②当直线l在坐标轴上的截距互为相反数,且为0时,直线l的方程为y=x,即4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. 　直线与坐标轴围成的三角形 　问题 [例3] 直线l过点P(,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点. (1)当△AOB的周长为12时,求直线l的方程; (2)当△AOB的面积为6时,求直线l的方程. 解:(1