2.2.1 直线的点斜式方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 学习目标 　根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式),培养直观想象与数学运算的核心素养. 1.点斜式方程 　(1)方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式. (2)当直线l的倾斜角为0°时,tan 0°=0,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是y-y0=0,即y=y0. (3)当直线l的倾斜角为90°时,由于tan 90°无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程是x-x0=0,即x=x0. [思考1] =k与y-y0=k(x-x0)有什么不同? 提示:=k与y-y0=k(x-x0)是不同的,前者方程中x-x0≠0,所以表示的直线上缺少一个点P0(x0,y0),后者才表示整条直线. [思考2] 过点P0(x0,y0)的直线是否只有一条? 提示:经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:①斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0);②斜率不存在的直线,方程为x=x0. [做一做1] 经过点(4,1),斜率为3的点斜式方程为(　A　) A.y-1=3(x-4) B.y-1=3(x+4) C.y+1=3(x+4) D.y-1=-3(x-4) 解析:根据直线的点斜式方程,过点(x1,y1)且斜率为k的直线方程是y-y1=k(x-x1),经过点(4,1),斜率为3的点斜式方程为y-1=3(x-4). 2.斜截式方程 (1)截距:把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 拓展:把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距. (2)斜截式方程:把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.其中,k和b均有明显的几何意义:k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距. [做一做2] 直线y=(x-)的斜率与在y轴上的截距分别是(　B　) A., B.,-3 C.,3 D.-,-3 解析:y=(x-)=x-3,所以直线的斜率k=,在y轴上的截距b=-3. 　直线的点斜式方程 [例1] 根据下列条件,求直线的方程. (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行; (4)经过点D(1,1),与x轴垂直. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的方程为y-5=4(x-2), 即4x-y-3=0. (2)因为直线的倾斜角为45°, 所以此直线的斜率k=tan 45°=1, 所以直线的点斜式方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0. (3)因为直线与x轴平行, 所以直线的倾斜角为0°,斜率k=0, 所以直线方程为y=-1. (4)因为直线与x轴垂直,斜率不存在,故不能用点斜式表示这条直线的方程,由于直线所有点的横坐标都是1,故这条直线的方程为x=1. 求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.特别注意:当斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程为x=x0. 易错警示:容易忽视直线斜率不存在的情况. [针对训练] 在平行四边形ABCD中,A(-1,2),B(1,3),C(3,-1),点E是线段BC的中点. (1)求直线CD的方程; (2)求过点A且与直线DE垂直的直线. 解:(1)在平行四边形ABCD中,A(-1,2),B(1,3),C(3,-1), 则==(2,-4),则点D(1,-2), 直线CD的斜率kCD==, 则有y-(-1)=(x-3),即x-2y-5=0, 所以直线CD的方程是x-2y-5=0. (2)依题意,点E(2,1),则直线DE的斜率kDE==3,因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为-=-,方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0, 所以所求方程是x+3y-5=0. 　直线的斜截式方程 [例2] 写出下列直线的斜截式方程. (1)直线斜率是3,在y轴上的截距是-3; (2)直线倾斜角是60°,在y轴上的截距是5; (3)直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2. 解:(1)直线的斜截式方程为y=3x-3. (2)因为k=tan 60°=, 所以直线的斜截式方程为y=x+5. (3)因为直线在x轴上的截距为4, 在y轴上的截距为-2, 所以直线过点(4,0)和(0,-2). 所以k==, 所以直线的斜截式方程为y=x-2. 斜截式方程的特点及应用 (1)若能求得直线的斜率,且直线在y轴上的截距已知,可选用直线的斜截式方程直接求解. (2)根据斜率和截距的几何意义判断k,b的正负时,k>0⇔直线呈上升趋势,k<0⇔直