2.1.1 倾斜角与斜率-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 学习目标 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素,培养直观想象的核心素养. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线的斜率的计算公式,提升数学抽象和数学运算的核心素养. 　　交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k==.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? 答案:坡度=,实际就是坡角的正切值,利用坡度的大小来刻画道路的倾斜程度. 1.直线的倾斜角 (1)直线的方向. 在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向. (2)直线的倾斜角. 当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180°. [思考1] 直线的倾斜角与直线的方向有什么关系? 提示:在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等. 2.直线的斜率 (1)直线的斜率. 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的坐标有如下关系: tan α=.① 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α.②  倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率. (2)直线的斜率公式. 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),那么由①②可得如下的斜率公式:k=. (3)直线的方向向量. 若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=,即(1,k)也为直线l的方向向量. [思考2] 直线的倾斜角与直线的斜率之间的关系是什么? 提示:①直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系. θ 0° 0°<θ<90° 90° 90°<θ<180° k 0 k>0 不存在 k<0 ②当倾斜角α满足当0°≤α<90°时,斜率k≥0,倾斜角越大,斜率越大;当90°<α<180°时,斜率k<0,倾斜角越大,斜率也越大;当α=90°时,直线的斜率不存在,直线垂直于x轴.倾斜角不同的直线,斜率k也不同. ③在平面直角坐标系中,倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度. 　求直线的倾斜角或其取值范围 [例1] (1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° (2)设直线l过坐标原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤α<180°时为α-135°　 解析:(1)如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.故选D. (2)如图①所示,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角是α+45°,如图②所示,当135°≤α<180°时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到l1的倾斜角为α-135°.故选D. 求直线的倾斜角的关键及两点注意 (1)关键:依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤ α<180°. [针对训练] (1)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A.[0,] B.[0,π) C.[0,)∪(,π) D.[0,]∪(,π) (2)求图中各直线的倾斜角. (1)解析:点B在射线x=1(y≥0)上运动,直线l的倾斜角的取值范围为[0,]∪(,π).故选D. (2)解:①如图a,可知∠OAB为直线l1的倾斜角,易知∠ABO=30°, 所以∠OAB=60°,即直线l1的倾斜角为60°. ②如图b ,可知∠xAB为直线l2的倾斜角, 易知∠OBA=45°,所以∠OAB=45°, 所以∠xAB=135°,即直线l2的倾斜角为135°. ③如图c,可知∠OAC为直线l3的倾斜角,