1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 学习目标 1.掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,培养直观想象的核心素养. 1.两条异面直线所成的角 一般地,两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ=|cos<u,v>|=||=. [思考1] θ的取值范围是什么? 提示:(0,]. [做一做1] 已知直线l1的方向向量为u=(0,0,1),直线l2的方向向量为v=(0,,-1),则直线l1与l2所成角的度数为(　B　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:直线l1的方向向量为u=(0,0,1), 直线l2的方向向量为v=(0,,-1), cos<u,v>===-, 所以两向量夹角为120°, 所以直线l1和l2所成的角为60°. 2.直线与平面所成的角 直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|=||=. [思考2] 直线在平面内或与平面平行时,θ的大小是多少?直线和平面垂直时,θ的大小是多少?θ的取值范围是什么? 提示:θ=0;θ=;θ∈[0,]. [做一做2] 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°,则直线l与平面α所成的角等于(　C　) A.130° B.60° C.40° D.50° 解析:因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°, 所以它们所在直线的夹角为50°, 则直线l与平面α所成的角等于90°-50°=40°. 3.平面与平面的夹角 如图,平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 类似于两条异面直线所成的角,若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则 cos θ=|cos<n1,n2>|=||=. [思考3] 平面α与平面β的夹角θ与这两个平面形成的二面角有什么关系? 提示:相等或互补. [做一做3] 已知两平面的一个法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角的大小为　　　　.  解析:因为cos<m,n>===, 所以两平面的夹角的大小为45°. 答案:45° 　异面直线所成的角 [例1] 将正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) A. B. C.- D.- 解析:取BD的中点O,连接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD, 又平面ABD⊥平面CBD且交线为BD,AO⊂平面ABD, 所以AO⊥平面CBD,又OC⊂平面CBD, 则AO⊥CO. 设正方形的对角线长度为2, 如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0), 所以=(1,0,-1),=(-1,-1,0), cos<,>===-. 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故选A. 利用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)求出两直线的一个方向向量u,v; (3)代入公式cos θ=求解. 注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,]. [针对训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=3,求异面直线A1B和AC1所成角的余弦值. 解:因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC, 所以以点A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 因为AB=AC=2,A1A=3, 所以B(2,0,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),A(0,0,0), =(2,0,-3),=(0,2,3), 设异面直线A1B和AC1所成的角为α, 所以cos α=|cos<,>|===, 所以异面直线A1B和AC1所成角的余弦值为. 　直线和平面所成的角 [例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M是PA的中点,PD⊥平面ABCD,PD=CD=4,AD=2. (1)求直线AP与平面CMB所成角的正弦值; (2)求平面BCP的两个法向量. 解:(1)以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),P(0,0,4),M(1