1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 学习目标 1.掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题,培养逻辑推理的核心素养. 2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养. 1.空间中的距离 (1)直线l外一点P到直线l的距离. 如图,直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量 =(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线l的距离为PQ==. [做一做1] 已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点P(1,1,1)到l的距离为(　B　) A.2 B. C. D. 解析:因为点A(1,-1,-1),点P(1,1,1), 所以=(0,2,2), 所以||==2, 又因为直线l的方向向量为m=(1,0,-1), 所以点P(1,1,1)到l的距离 d===. (2)平面α外一点P到平面α的距离. 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ=|·|=||=. [做一做2] 已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为(　A　) A. B. C. D. 解析:依题意,=(0,1,2),而a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d===. [思考1] 类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离? 提示:在其中一条直线上取一点P,转化为点P到另一条直线的距离. [思考2] 类比点到平面的距离,如何求两个平行平面的距离? 提示:在其中一个平面上取一点P,转化为点P到另一个平面的距离. 2.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题. (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 　点到直线的距离 [例1] 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为(　　) A.1 B. C. D. 解析:如图建立空间直角坐标系, 则A1(1,0,1), C1(0,1,1), 设P(x,0,1-x), 0≤x≤1, 则=(x-1,0,-x),=(-1,1,0), 所以动点P到直线A1C1的距离为 d= = ==≥, 当x=时,取等号,即线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为. 故选D. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式PQ=计算点到直线的距离. [针对训练] 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1=2,则C到直线AB1的距离为(　　) A. B. C. D. 解析:由题意知, AC=AB=2,BB1=, 取AC的中点O, 则BO⊥AC,BO=, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则A(0,-1,0), B1(,0,),C(0,1,0), 所以=(,1,),=(0,-2,0), 故点C到直线AB1的距离为 d==.故选D. 　点到平面的距离 [例2] 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AD=2,AA1=5,E,F分别为DD1,BB1上的点,且DE=B1F=1. (1)求证:BE⊥平面ACF; (2)求点B到平面ACF的距离. (1)证明:以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0),E(0,0,1),F(2,2,4), 设平面ACF的一个法向量为n=(x,y,z), =(-2,2,0),=(0,2,4), 可得即 不妨令z=1,则n=(-2,-2,1)=, 所以BE⊥平面ACF. (2)解:=(0,2,0),则点B到平面ACF的距离为=. 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. [针对训练] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,AB=B