1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养. 2.掌握利用空间向量研究空间中直线与平面的位置关系,提升逻辑推理的核心素养. 3.培养学生的作图能力和空间想象能力,增强学生应用数学的意识,强化直观想象的核心素养. 　　动手旋转一个圆盘陀螺,可以发现该陀螺随着轴一起转动时,圆盘平面时而水平,时而倾斜,在不断改变方向,陀螺的轴虽在不断改变方向,但始终与圆盘垂直. 探究:(1)我们能用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向吗? (2)能用平面上的某一条有向线段代表的向量来刻画平面的方向吗? 答案:(1)能,因为轴始终与圆盘平面垂直,轴的方向即唯一确定圆盘平面的方向. (2)不能.平面上的某一条有向线段代表的向量与平面的方向不唯一确定. 1.空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点的位置向量. 在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示,把向量称为点P的位置向量. (2)空间直线的向量表示式. a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,对取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,① 将=a代入①式,得=+t,② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. (3)空间平面的向量表示式. 取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.③ 把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. (4)平面的法向量. 直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}. [思考1] 若向量n1,n2为某一平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线是否一定平行? 提示:不一定,以这两个向量为方向向量的直线可以是同一条直线. 2.空间中直线、平面的平行 (1)两直线平行的判定方法. 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2. (2)直线和平面平行的判定方法. 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔ u⊥n⇔u·n=0. (3)平面和平面平行的判定方法. 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2. [思考2] 若直线l的方向向量m和平面α的法向量垂直,则l是否与平面α平行? 提示:l与α不一定平行,有两种情况:l⊂α或l∥α. [做一做1] 已知直线l的一个方向向量为m=(-2,-8,1),平面α的一个法向量为n=(x,,2),若l∥平面α,则x等于(　C　) A.-8 B.8 C.-1 D.1 解析:若l∥平面α,则m⊥n, 因为m=(-2,-8,1),n=(x,,2), 所以m·n=-2x-4+2=0,解得x=-1. 3.空间中直线、平面的垂直 (1)两直线垂直的判定方法. 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0. (2)直线和平面垂直的判定方法. 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则 l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn. (3)平面和平面垂直的判定方法. 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 α⊥β ⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0. [思考3] (1)若两个平面的法向量不垂直,那么这两个平面垂直吗? (2)若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直,那么l与α垂直吗? 提示:(1)不垂直.(2)垂直. [做一做2] 若直线l的方向向量为e=(2,3,-1),平面α的法向量为n=(-1,-,),则直线l和平面α的位置关系是(　A　) A.l⊥α B.l∥α C.l⊂α D.不确定 解析:由题意直线l的方向向量为e=(2,3,-1), 平面α的法向量为n=(-1,-,), 可知e=-2n,故l⊥α. 　直线的方向向量 [例1] 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H是C1G的中点,建立适当的空间直角坐标系,求线段B1C,EF,C1G,FH所在直线的一个方向向量. 解:以D为原点,以DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1), 因为E,F分别是DD1,DB的