1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.掌握空间向量坐标运算公式,并能解决相应问题,培养数学抽象的核心素养. 2.掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题,强化数学运算的核心素养. 3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核心素养. 1.空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示(a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)) 加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标,若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). [思考1] 已知向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a=b的充要条件是什么? 提示:a=b⇔ 2.空间向量的平行与垂直的坐标表示 平行或垂直 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 平行(a∥b) a∥b⇔a=λb⇔(λ∈R且b≠0) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 [做一做1] 向量a=(3,2,1),b=(1,x,1),c=(y,4,2),若a⊥b,a∥c,则b+c=　　　　.  解析:由题意知向量a=(3,2,1),b=(1,x,1),c=(y,4,2),且a⊥b,a∥c, 所以a·b=3+2x+1=0且==, 解得x=-2,y=6, 故b=(1,-2,1),c=(6,4,2),则b+c=(7,2,3). 答案:(7,2,3) 3.空间向量的模及夹角的坐标表示 (1)空间向量的模的坐标表示. ①设a=(a1,a2,a3),则|a|==. ②空间两点间的距离公式. 已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 a.=(x2-x1,y2-y1,z2-z1); b.||=. (2)向量夹角的坐标公式. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则cos<a,b>==. [思考2] 向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),a≠0,b≠0,x1x2+y1y2+z1z2>0是<a,b>为锐角的充要条件,对吗? 提示:不对,由a·b=x1x2+y1y2+z1z2>0得不到<a,b>为锐角,因为当<a,b>=0时,a·b=x1x2+y1y2+z1z2>0也成立,所以x1x2+y1y2+z1z2>0是<a,b>为锐角的必要不充分条件. [做一做2] 若向量a=(-1,0,1),向量b=(2,0,k),且满足a与b的夹角为钝角,则k的取值范围是　　　　.  解析:若a∥b,所以a=λb, 所以 所以 因为a与b的夹角为钝角, 所以a·b=-2+k<0,所以k<2, 综上可知,k的取值范围是k<2且k≠-2. 答案:(-∞,-2)∪(-2,2) 　空间向量的坐标运算 [例1] 已知a=(3,2,-1),b=(5,-3,2),求: (1)a+2b; (2)a·b; (3)(2a+b)·(a-3b). 解:(1)由已知a=(3,2,-1),b=(5,-3,2), 可得a+2b=(3,2,-1)+2(5,-3,2)=(13,-4,3). (2)a·b=(3,2,-1)·(5,-3,2)=15-6-2=7. (3)(2a+b)·(a-3b)=[2(3,2,-1)+(5,-3,2)]·[(3,2,-1)-3(5,-3,2)]=(11,1,0)·(-12,11,-7) =11×(-12)+1×11 =-121. 空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可先求出2a,-b,再求数量积. [针对训练] (1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　　) A.a+b=(10,-5,2) B.a-b=(2,-1,6) C.a·b=(24,6,-8) D.|a|=6 (2)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·2b=-2,则x=　　　　.  解析:(1)因为向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2)