1.3.1 空间直角坐标系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 学习目标 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置,培养直观想象的核心素养. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,提升数学抽象的核心素养. 在一条直线上可以建立数轴,将每个点的位置用一个实数x来表示.在一个平面上可以建立平面直角坐标系,将每个点的位置用两个实数组成有序实数对(x,y)来表示. 探究:(1)在空间中怎样表示每个点的位置呢? (2)如何刻画在海面上空飞行的飞机的位置P? 答案:(1)用三个实数组成的有序实数组(x,y,z)来表示每个点的位置. (2)先说明飞机在海面上点P′的上空,再说明飞机在海面上空的高度P′P.如图,将海面看成一个平面,从飞机在空中所在位置向海平面作垂线PP′,垂足为P′,则飞机在P′上空.为了刻画P′在海平面上的位置,在海平面上建立平面直角坐标系,则P′可以由它在这个坐标系中的坐标(x,y)来刻画.又由于飞机在海平面上空的高度PP′=z是一个实数,因而将x,y,z这三个实数组成有序实数组(x,y,z),它就刻画了飞机的位置P,称之为点P的坐标. 1.空间直角坐标系的建立 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分. [思考1] 空间直角坐标系的三个要素是什么? 提示:原点、坐标轴方向、单位长度. 2.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk. 在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 3.空间直角坐标系中向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z). [思考2] 如果点P不在三个坐标平面内,如何确定它的坐标? 提示:如图,过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点A,B,C.设交点A,B,C在x轴、y轴和z轴上的坐标分别代表唯一的实数x,y,z,将这三个实数按顺序排成一组(x,y,z),那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z).即得到点P的坐标. [做一做1] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,如图所示建立空间直角坐标系.则点F的坐标是　,点E的坐标是　　　　.  解析:点F在y轴上,DF=1.所以点F的坐标是(0,1,0);点E在Oxy平面上的射影是点B,点B的坐标是(2,2,0),又因为BE=1.所以点E的坐标是(2,2,1). 答案:(0,1,0)　(2,2,1) [思考3] 给定一点P的坐标,即P(x,y,z),如何在空间直角坐标系下确定这个点? 提示:给定点P(x,y,z),在x轴、y轴和z轴上依次选取坐标为x,y,z的点A,B,C,过这三点分别作一个垂直于x轴、y轴和z轴的平面,则这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x,y,z)所确定的点P. 空间中的点P与有序实数组(x,y,z)之间可以建立一一对应关系. [做一做2] 点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　C　) A.y轴上 B.Oxy平面上 C.Ozx平面上 D.第一象限内 解析:点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在Ozx平面上. 　空间直角坐标系 [例1] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,以点A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标. 解:由题意,知A(0,0,0). 由于点B在x轴上,且AB=4,则它的横坐标为4,又它的纵坐标和竖坐标都为0, 所以点B的坐标为(4,0,0), 同理可得D(0,3,0),A1(0,0,5); 由于点C在Axy平面内,则它的竖坐标为0,点C在x轴、y轴上的射影依次为点B、点D,又AB=4,AD=3, 所以点C的横坐标和纵坐标依次为4