1.2 空间向量基本定理-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.2　空间向量基本定理 学习目标 1.理解空间向量基本定理的意义,培养数学抽象的核心素养. 2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数学抽象的核心素养. 3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直观想象的核心素养. 4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 1.空间向量基本定理 (1)定理. 条件 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc (2)基底与基向量. 如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可看作由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量. [思考1] 如果{a,b,c}是空间中的一个基底,则a,b,c中会有零向量吗? 提示:不会,如果a,b,c中有零向量,则a,b,c一定共面,不会构成基底. [做一做1] 设向量a,b,c不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是(　C　) A.{a-2b,3a-b,0} B.{a,b,a+b} C.{3a+b,a+b,c} D.{a+b+c,a+b,c} 解析:A中,由于0与任意两个向量共面,不能作为基底;B中,a+b=a+b,故三向量共面,不能作为基底;D中,a+b+c=(a+b)+c,故三向量共面,不能作为基底. [思考2] 如果{a,b,c}是空间中的一个基底,x,y,z∈R,xa+yb+zc=0,则x,y,z一定全为0吗? 提示:x,y,z一定全为0. 2.空间向量的正交分解 (1)单位正交基底. 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示. (2)正交分解. 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. [思考3] 空间中任意三个不共面的单位向量,都可以构成单位正交基底吗? 提示:不是.三个基向量必须两两垂直,且长度都为1,这个基底才叫做单位正交基底. [做一做2] 在长方体ABCD -A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则=　 .  解析:=++=++=3i+2j+5k. 答案:3i+2j+5k (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同. (2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念. (3)由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量. 　基底的判断 [例1] 若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底. 解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a), 所以a+b=λb+μa+(λ+μ)c. 因为{a,b,c}为空间的一个基底,所以a,b,c不共面. 所以 此方程组无解,所以a+b,b+c,c+a不共面. 所以{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底. 判断基底的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. (2)方法: ①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设a=λb+μc(λ,μ∈R),运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. [针对训练] 下列能使向量,,成为空间的一个基底的关系式是(　　) A.=++ B.=+ C.=++ D.=2- 解析:对于选项A,由=x+y+z(x+y+z=1)⇔M,A,B,C四点共面,得,,共面;对于选项B,D,可知,,共面.故选C. 　用基底表示向量 [例2] 如图,在空间四边形OABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,D为BC的中点,试用基底{,,}表示向量 和 . 解:=+=+ =+(+) =+(-+-) =++. 因为==(+), 所以=-=(+)-(++)=-. 用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中