1.1.2 空间向量的数量积运算-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 学习目标 1.掌握空间向量的数量积,增强数学抽象的核心素养. 2.了解空间投影向量的概念以及投影向量的意义,增强数学抽象和直观想象的核心素养. 3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cos θ, 为了在数学中体现“功”这样一个标量,我们引进了“数量积”的概念. 探究:据此我们定义了平面向量的夹角及数量积运算.那么在空间向量中是否也如此呢? 答案:由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,因此,两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 1.空间向量的夹角 定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π]. 如果<a,b>=,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b. 2.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b 运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 空间向量数量积的性质: (1)若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0; (2)若a与b同向,则a·b=|a||b|; 若反向,则a·b=-|a||b|; 特别地,a·a=|a|2或|a|=; (3)若θ为a,b的夹角,则cos θ=; (4)|a·b|≤|a||b|. [思考] 空间向量的数量积运算满足结合律吗? 提示:不满足.即对于向量a,b,c,(a·b)c是与c共线的向量,而a·(b·c)是与a共线的向量,所以两者不一定相等. 3.投影向量 如图(1),在空间,向量a向向量b投影,可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos<a,b>,向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 类似地,可以将向量a向直线l投影(如图(2)). 如图(3),向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A′,B′,得到向量,向量称为向量a在平面β上的投影向量. [做一做] 已知|a|=4,空间向量e为单位向量,<a,e>=,则空间向量a在向量e上的投影向量为　　　 . 解析:空间向量a在向量e上的投影向量为|a|cos <a,e>·e=4cos ·e=-2e. 答案:-2e 　向量的数量积运算 [例1] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则 ·=　　　　　.  解析:·=·= ||||cos<,>= a·a·cos 60°=a2. 答案:a2 (1)空间向量数量积运算的两种方法 ①利用定义:利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. ②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. (2)在几何体中求空间向量数量积的步骤 ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. [针对训练] 已知在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.求下列向量的数量积. (1)·; (2)·. 解:如图所示, 设=a,=b,=c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0. (1)·=·(+)=b·[(c-a)+b]=|b|2=42=16. (2)·=(+)·(+)= (c-a+b)·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0. 　利用数量积求向量的夹角 [例2] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,CA=CB=1,AA1=2.求cos<,>的值. 解:因为=-=+-, =+, 所以||2==(+-)2=++=12+22+12=6,所以||=, ||2==(+)2=+=12+22=5,所以||=, ·=(+-)·(+) =-=22-12=3, 所以cos<,>===. [变式探究1] 本例中若点N为AA1的中点,求与夹角的余弦值. 解:由题意知,||=,||=, ·=(+-)·(+) =-=×22-12=1, 所以cos<,>===. [变式探究2] 本例中若点N为AA1的中点,求异面直线CA1与AB夹角的余弦值. 解:由已知得||=||=1,||=2, ·=·=·=0, 因为||2==(+)2=+ =12+22=5, 所以||=, 因为||2=