1.1.1 空间向量及其线性运算-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念,提升数学抽象的核心素养. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程,培养逻辑推理的核心素养. 3.掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念,提升数学抽象的核心素养. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程,培养逻辑推理的核心素养. 3.掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 　　小明从学校回家,需先从学校大门口骑上自行车向北行驶1 000 m,再向东行驶1 500 m,最后乘电梯上升15 m 到5楼的住处.在这个过程中,小明从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示). 探究:(1)以上三个位移是同一个平面内的向量吗? (2)如何刻画小明同学行驶的位移? 答案:(1)不是.(2)借助于空间向量的运算. 1.空间向量 (1)定义. 在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)长度或模. 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. (3)表示方法. 几何 表示法 空间向量用有向线段表示 字母 表示法 用字母表示,如图,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或|| (4)特殊的空间向量. 名称 概念 记法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|=1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量 -a 共线向 量或平 行向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量 a∥b 相等向量 方向相同且模相等的向量 a=b 注意:0∥a. 2.空间向量的线性运算和运算律 空间向 量的线 性运算 加 法 a+b=+= 减 法 a-b=-= 数 乘 当λ>0时,λa=λ=;当λ<0时,λa=λ=;当λ=0时,λa=0 运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, λ(μa)=(λμ)a; 分配律:(λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)=λa+λb [思考1] 若λ∈R,向量a≠0,则向量λa的方向、模与向量a的方向、模之间分别有什么关系? 提示:①λ>0时,向量λa的方向与向量a的方向相同,λ<0时,向量λa的方向与向量a的方向相反,λ=0 时,λa为0,方向是任意的. ②λa的模为|λa|=|λ|·|a|,即向量a的模的|λ|倍. [做一做1] (多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列关于的表达正确的是(　ACD　) A.++ B.++ C.++ D.(+)+ 解析:++=+=,所以A正确; ++=+=+≠,所以B错误; ++=++=+=,所以C正确; (+)+=(+)+=+=,所以D正确. 3.向量共线与向量共面的充要条件 (1)向量共线的充要条件. 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb. (2)直线的方向向量. 如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得=λa. 把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (3)共面向量. 如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. (4)向量共面的充要条件. 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. [思考2] 空间中三点A,B,P,如果对空间中任意一点O,满足向量关系式=λ+μ,λ,μ∈R,当λ,μ满足什么等式时,A,B,P三点共线?当λ,μ为什么值时,点P为AB的中点? 提示:①当λ+μ=1时,A,B,P三点共线. ②当λ=μ=时,P为AB的中点. [思考3] 对空间任意四点P,M,A,B. (1)如果=x+y(x,y∈R),P,M,A,B四点是否共面? (2)对空间任意一点O,=+x+y(x,y∈R),则P,M,A,B四点是否共面? (3)对空间任意一点O,=x+y+,x+y+z=1,则P,M,A,B四点是否共面? 提示:(1)共面.(2)共面.(3)共面. [做一做2] O为空间任意一点,若=++t,若A,B,C,P四点共面,则t等于(　C　) A.1