第一章 空间向量与立体几何 章末总结-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

章末总结 1 网络构建 归纳整合 判断对错.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底.(　 　) 2.设{a,b,c}构成空间的一个基底,对空间任一向量p,总存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.(　 　) 3.设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,则a2b=b2a. (　 　) √ √ × √ 5.平面α,β的一个法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β.(　 　) 7.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是(-2,+∞).(　 　) × × × × 2 题型归纳 素养提升 题型一　空间角 [例1] 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,高为4. (1)求A1B与AD1所成角的余弦值; [例1] 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,高为4. (2)求CC1与平面ACD1所成角的正弦值. 用向量方法求空间角 (2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种方法: ①通过平面的法向量来求,即求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是直线和平面所成的角; ②分别求出直线和它在平面内的射影的方向向量,再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角). (3)利用空间向量求二面角,也可以有两种方法: ①分别在二面角α-l-β的面α,β内,沿α,β延伸的方向作向量n1⊥l,n2⊥l,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小; ②通过法向量求解.设m1⊥α,m2⊥β,则两向量的夹角与该二面角相等或互补. 注意:二面角的取值范围是[0,π]. [跟踪训练] 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,平面AA1C1C⊥平面ABC,点D为AC的中点. (1)求证:平面AA1C1C⊥平面BDB1; (1)证明:平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC, 又由BD⊥AC,BD⊂平面ABC, 所以BD⊥平面AA1C1C. 又BD⊂平面BDB1,则平面AA1C1C⊥平面BDB1. [跟踪训练] 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,平面AA1C1C⊥平面ABC,点D为AC的中点. (2)若侧面AA1C1C为菱形,∠A1AC=60°,AB⊥BC,求二面角D-BB1-C的余弦值. 题型二　求距离 (1)求直线AD与平面PBC间的距离; (2)求异面直线EC与PB间的距离; (3)求点B到平面PEC的距离. [跟踪训练] 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,边长为2,侧棱A1A=3,N,M分别为A1B1,A1D1的中点,F,E分别是B1C1,C1D1的中点. (1)求证:平面AMN∥平面EFBD; [跟踪训练] 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,边长为2,侧棱A1A=3,N,M分别为A1B1,A1D1的中点,F,E分别是B1C1,C1D1的中点. (2)求平面AMN与平面EFBD的距离. 题型三　探索性问题 (1)求证:DE⊥平面PAC; (2)求二面角A-PC-D的平面角的余弦值; 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是先根据条件作出判断,再进一步论证;另一种是利用空间向量,先假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”. [跟踪训练] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,∠C1CA=60°,AB⊥AC,AC=AB=AA1=2. (1)求证:A1C⊥BC1; [跟踪训练] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC, ∠C1CA=60°,AB⊥AC,AC=AB=AA1=2. 题型四　折叠问题 [例4] 如图,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,AD的中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至四边形EBHG,使得∠AEG=90°. (1)求证:平面AEB⊥平面EBHG; (1)证明:在菱形ABCD中,∠A=60°,则△ABD是等边三角形, 又E是AD的中点,则AE⊥EB, 又AE⊥EG,且EG∩EB=E,EG⊂平面EBHG,EB⊂平面EBHG, 所以AE⊥平面EBHG,又AE⊂平面AEB, 所以平面AEB⊥平面EBHG. [例4] 如图,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,AD的中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至四边形EBHG,使得∠AEG=90°. (2)求平面AGH和平面BGH夹角的余弦值; [例4] 如图,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,AD的中点为E.