3.3.2 抛物线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 1.掌握抛物线的几何性质,培养数学抽象的核心素养. 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题,提升数学运算的核心素养. 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题,提升直观想象的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 抛物线的简单几何性质 性 质 范围 . . . . . . . . 对称轴 . . 顶点 . 离心率 . 开口 方向 . . . . x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 x轴 y轴 原点 e=1 向右 向左 向上 向下 [思考] 抛物线的方程只有一个参数p,它的大小影响抛物线哪些几何性质? 提示:焦点、准线的位置、开口的大小等. B [做一做1] 直线y=2与抛物线y2=8x的公共点的个数为 (　 　) A.0 B.1 C.2 D.无数 解析:直线y=2与抛物线y2=8x的对称轴平行,故直线与抛物线只有一个公共点. C 2 师生互动 合作探究 抛物线的几何性质及应用 (1)为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. (2)不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线. [针对训练] 等腰Rt△ABO内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△ABO的面积是(　　) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 焦点弦的性质的应用 解析:由抛物线C:y2=4x得焦点F(1,0),准线方程为x=-1, 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知x1+x2=4, 所以|AB|=x1+x2+2=4+2=6.故选C. [例2] 已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,并且与抛物线C交于不同的两点A,B,若M(2,y0)为线段AB的中点,则|AB|的值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解. [针对训练] 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,则弦长|AB|=　　　. 8 直线与抛物线的位置关系 [例3] 已知抛物线C:y2=-2x,过点P(1,1)的直线l斜率为k,当k取何值时,l与C有且只有一个公共点;有两个公共 点;无公共点? 直线与抛物线交点个数的判断方法 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0, (1)若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. (2)若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. [针对训练] 过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程. 与抛物线有关的中点弦问题 [例4] 已知A,B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E的方程; [例4] 已知A,B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分. (2)求直线AB的方程. “中点弦”问题的两种解题策略 (2)传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x (或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,从而求斜率. 相交弦问题 (1)求抛物线弦长问题的方法. ①一般弦长公式. ②焦点弦长. 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1), B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. [针对训练] 在平面直角坐标系xOy中,曲线C:x2=6y与直线l:y=kx+3交于M,N两点. (1)若△MON的面积为18,求实数k的值; [针对训练] 在平面直角坐标系xOy中,曲线C:x2=6y与直线l:y=kx+3交于M,N两点. (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM= ∠