3.3.1 抛物线及其标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 1.掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养. 2.会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 如图,我们在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板,将一条拉链的一条边AB固定在三角板的一条直角边上,并将拉链另一条边的一端固定在C点,将三角板的另一条直角边贴在直线EF上,在拉锁D处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线. 探究:这是一条什么曲线?由画图过程你能给出此 曲线的定义吗? 答案:抛物线,动点D到C的距离等于到直线EF的距离. 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 . 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 . [思考1] 当l经过点F时,动点的轨迹是什么? 提示:过点F垂直于直线l的一条直线. 距离 相等 焦点 准线 2.抛物线标准方程的几种形式 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 . . . . . . . . . . . . [思考2] 抛物线的标准方程有什么特征? 提示:等号一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一变量的一次项. B y2=12x [做一做2] 焦点为F(3,0)的抛物线标准方程为　　 　. 2 师生互动 合作探究 求抛物线的焦点及准线 [例1] 设抛物线的方程为y=ax2(a≠0),求抛物线的焦点坐标与准线方程. 求抛物线的焦点及准线方程的步骤 (1)把抛物线方程化为标准方程形式; (2)明确抛物线开口方向; (3)求出抛物线标准方程中参数p的值; (4)写出抛物线的焦点坐标和准线方程. [针对训练] 抛物线x2=my(m为常数)过点(-1,1),则抛物 线的焦点坐标为　　　　,准线方程为　　　　.  求抛物线的标准方程 解析:(1)设抛物线的解析式为y2=-2px, 把(-1,2)代入得4=2p,解得p=2, 所以抛物线的标准方程为y2=-4x. 故选B. (2)已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上,则抛物线的标准方程是(　　) A.x2=72y B.x2=144y C.y2=-48x D.x2=144y或y2=-48x 解析:(2)当焦点在x轴上时,根据y=0,3x-y+36=0可得焦点坐标为(-12,0), 所以抛物线的标准方程为y2=-48x; 当焦点在y轴上时,根据x=0,3x-y+36=0可得焦点坐标为(0,36), 所以抛物线的标准方程为x2=144y. 故选D. 求抛物线标准方程的方法 (1)直接法:直接利用题中已知条件确定参数p. (2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定参数p.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为y2=mx或x2=my(m≠0). 已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式;已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式,需根据四种抛物线的图象及开口方向确定. A.y2=16x B.y2=-8x C.y2=-16x D.x2=-16y 抛物线定义的应用 角度1　轨迹问题 [例3] 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 法二　由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点符合条件;当x≥0时,题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,方程为y2= 4x.故所求动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0 (x<0). 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. [针对训练] 已知圆A:(x+2)2+y2=1与定直线l:x=1,且动圆P和圆A外切并与直线l相切,求动圆的圆心P的轨迹方程. 角度2　与抛物线有关的最值问题 [例4] (1)若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则点M到y轴的最短距离为　　　　;  1 (2)已知抛物线y2=8x的焦点是F,点A(3,2),若抛物线上存在一点M 使得|MA|+|MF|最小,则点M的横坐标为　 　. (1)解决此类问题