3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

第2课时　直线与椭圆的位置关系 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,提升数学运算的核心素养. 2.掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,会判断直线与椭圆的位置关系,培养直观想象的核心素养. 3.初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,椭圆方程为f(x,y)=0. 如消去y后得px2+qx+m=0,则Δ=q2-4pm. ①当Δ 0时,直线与椭圆相交于不同的两点; ②当Δ 0时,直线与椭圆相切于一点; ③当Δ 0时,直线与椭圆相离,没有公共点. > = < 2 2 师生互动 合作探究 直线与椭圆位置关系的判断 (1)求椭圆C的标准方程; (2)讨论直线l与椭圆C的位置关系以及公共点个数. 判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 弦长问题 [例2] 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; [例2] 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程. 求弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. (2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长公式: 中点弦问题 解决椭圆中点弦问题的三种方法: (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. [针对训练] 已知椭圆的一个焦点为F(0,-3),该椭圆被直线5x+4y-20=0所截得弦的中点的横坐标为2,则该椭圆 的标准方程为　 . 直线与椭圆的综合问题 解决直线与椭圆的综合问题,一般采取“设而不求”的方法,即设出直线与椭圆的交点的坐标,将直线方程与椭圆方程联立,消元,利用根与系数的关系转化为所求参数的方程(或函数)问题,从而解决问题. 定点问题 解决与椭圆有关的定点问题常利用设而不求的思想,将相关各量设出,然后利用椭圆的几何性质将所求值或点表示出来,最后说明要求解的量与变量的取值无关即可.解决此类问题时,偶尔需要先根据题意观察定点,这类特殊位置一般在特殊点处取得. A A 点击进入 课时作业 谢谢观看 由消元, [做一做] 直线y=kx+1-k与椭圆+=1的公共点个数为　　. 解析:因为直线y=kx+1-k是恒过点(1,1)的直线系,由于+< 1,所以点(1,1)是椭圆内部的一点,所以直线与椭圆恒有2个公共点. [例1] 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为. 解:(1)由题意椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,可知b=,e==,b==,解得a=2,c=, 所以椭圆C的标准方程为+=1. [例1] 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为. 解:(2)由可得9x2+8mx+2m2-4=0, Δ=64m2-36(2m2-4)=-8m2+144, 当Δ=-8m2+144=0,即m=±3时,直线l与椭圆C相切,只有一个公共点; 当Δ=-8m2+144>0,即-3<m<3时,直线l与椭圆C相交,有两个公共点; 当Δ=-8m2+144<0,即m<-3或m>3时,直线l与椭圆C相离,无公共点. 综上所述,当m=±3时,直线l与椭圆C相切,只有一个公共点; 当-3<m<3时,直线l与椭圆C相交,有两个公共点; 当m<-3或m>3时,直线l与椭圆C相离,无公共点. [针对训练] 若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,求实数m的取值范围. 解:法一　由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上,知0<m<5. 又因为直线与椭圆总有公共点,所以直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上,所以+≤1,即m≥1, 故实数m的取值范围是[1,5). 法二　由椭圆方程及椭圆焦点在x轴上,知0<m<5.由 得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0. 又直线与椭圆总有公共点,所以上述方程的判别式Δ≥0对一切k都成立,即(10k)2-4(m+5k2)×5(1-m