3.1.1 椭圆及其标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,培养直观想象的核心素养. 2.理解并掌握椭圆的定义,培养数学抽象的核心素养. 3.掌握椭圆的标准方程及其推导过程,提升数学运算的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于 .的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ,两 间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为 . 和 常数(大于|F1F2|) 焦点 焦点 半焦距 [思考1] 定义中要求常数大于|F1F2|,当该常数等于|F1F2|时,点的轨迹是什么?小于|F1F2|时,点的轨迹又是什么? 提示:当常数等于|F1F2|时,动点的轨迹为线段F1F2;当常数小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. C 2.椭圆的标准方程 若|F1F2|=2c,|MF1|+|MF2|=2a(a>c>0),则椭圆的标准方程、焦点坐标及a,b,c的关系如表: a2-b2 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 . . 焦点 坐标 . . a,b,c的关系 c2= . (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) [思考2] 如何根据椭圆的标准方程确定焦点的位置? 提示:比较x2,y2的分母,x2的分母大时,焦点在x轴上,反之在y轴上. A 2 师生互动 合作探究 求椭圆的标准方程 [例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: [例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 ①定位,确定焦点在哪个轴上; ②定量,依据条件及a2=b2+c2确定a,b,c的值; ③写出标准方程. (3)当椭圆过两定点时,常设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠ B),将点的坐标代入解方程组求得系数. [针对训练] (1)已知椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的标准方程; 椭圆标准方程的应用 角度1　利用椭圆的标准方程求参数 根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 角度2　利用椭圆的标准方程确定椭圆的基本量 [例3] 椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点坐标为(　　) 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围). (1)求椭圆的焦点坐标时,若方程不是标准方程,则应先将其化为标准方程,确定a2,b2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a2= b2+c2求出c,即可写出焦点坐标. 角度3　点与椭圆的位置关系 (2)先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论:①|PF1|+ |PF2|<2a⇔点P在椭圆内; ②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上; ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外. 椭圆的定义在焦点三角形中的应用 [变式探究1] 点P在焦点为F1(-4,0)和F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为16,则椭圆标准方程为(　　) [变式探究2] 在本例中,若把“∠F1PF2=60°”改为“∠PF1F2= 90°”,其余条件不变,试求△PF1F2的面积. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 与椭圆定义有关的轨迹问题 [例6] 已知M(2,0),P是圆N:x2+4x+y2-32=0上一动点,线段MP的垂直平分线交线段NP于点Q,则动点Q的轨迹方程为(　　) (1)对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. ②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. (2)椭圆定义的两个应用 ①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),则动点M的轨迹是椭圆. ②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. [针对训练] 已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过点B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程. 椭圆的各种方程形式 (1)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式:Ax2+By2=1(其中A> 0,B>0,A≠B). [典例探究]