2.2.3 直线的一般式方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

2.2.3　直线的一般式方程 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(一般式),提升直观想象与数学运算的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程. 关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称 . Ax+By+C=0 一般式 (2)因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,所以这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的 的集合,这些点的集合组成一条直线. 在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的 ;反之,直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的 表示. 全体点 直线 二元一次方程 [思考] 在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线: ①平行于x轴?②平行于y轴?③与x轴重合?④与y轴重合? 提示:①A=0且B≠0,C≠0. ②B=0且A≠0,C≠0. ③A=0且B≠0,C=0. ④B=0且A≠0,C=0. [做一做] 过点(-1,2)与(3,5)的直线的一般式方程为 　　 　　.  3x-4y+11=0 2 师生互动 合作探究 求直线的一般式方程 [例1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. [例1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; 解:(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,化为一般式方程为4x-y-2=0. [例1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; [例1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1. 求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项顺序排列. 注意:要注意斜率不存在或者为0时的情况. [针对训练] 根据下列条件分别写出直线方程,并化为一般式方程. [针对训练] 根据下列条件分别写出直线方程,并化为一般式方程. [针对训练] 根据下列条件分别写出直线方程,并化为一般式方程. (3)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程; [针对训练] 根据下列条件分别写出直线方程,并化为一般式方程. (4)求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程. 解:(4)①当m=2时,直线l的方程为x=2; 直线方程几种形式的相互转化及其应用 [例2] 设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),若直线l的斜率为-1,则k= ;若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0,则k= . 5 1 (1)直线的一般式方程Ax+By+C=0中要求A,B不同时为0. (2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了);反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程,注意斜截式、截距式方程的适用 条件. (3)解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和在y轴上的截距作出判断. [针对训练] 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),若l不经过第二象限,则实数a的取值范围是　　 　　.  (-∞,-1] 由直线的位置关系求方程 [例3] 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l′的方程,使l′满足: (1)过点(-1,3),且与l平行; [例3] 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l′的方程,使l′满足: (2)过点(-1,3),且与l垂直; [例3] 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l′的方程,使l′满足: (3)l′与l垂直,且l′与两坐标轴围成的三角形面积 为4. 过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程. (2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2. 注意:利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率时要注意斜率不存在或者为0的情况. [针对训练] 求直线l的方程: (1)求过点P(1,2)且与直线3x-2y+5=0平行的