1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

第2课时　用空间向量研究 夹角问题 1.掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,培养直观想象的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.两条异面直线所成的角 一般地,两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的 的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ= = = . 方向向量 |cos<u,v>| [思考1] θ的取值范围是什么? [做一做1] 已知直线l1的方向向量为u=(0,0,1),直线l2的方向向量为v=(0,,-1),则直线l1与l2所成角的度数为 (　 　) A.30° B.60° C.120° D.150° B 2.直线与平面所成的角 方向向量 法向量 [思考2] 直线在平面内或与平面平行时,θ的大小是多 少?直线和平面垂直时,θ的大小是多少?θ的取值范围是什么? [做一做2] 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°,则直线l与平面α所成的角等于(　 　) A.130° B.60° C.40° D.50° C 解析:因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°, 所以它们所在直线的夹角为50°, 则直线l与平面α所成的角等于90°-50°=40°. 3.平面与平面的夹角 如图,平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中 的二面角称为平面α与平面β的夹角. 不大于90° 夹角 补角 [思考3] 平面α与平面β的夹角θ与这两个平面形成的二面角有什么关系? 提示:相等或互补. [做一做3] 已知两平面的一个法向量分别为m=(0,1,0), n=(0,1,1),则两平面的夹角的大小为　　　　.  45° 2 师生互动 合作探究 异面直线所成的角 [例1] 将正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) 利用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)求出两直线的一个方向向量u,v; [针对训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB= AC=2,A1A=3,求异面直线A1B和AC1所成角的余弦值. 直线和平面所成的角 [例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M是PA的中点, PD⊥平面ABCD,PD=CD=4,AD=2. (1)求直线AP与平面CMB所成角的正弦值; [例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形, M是PA的中点,PD⊥平面ABCD,PD=CD=4,AD=2. (2)求平面BCP的两个法向量. 求线面角的两种方法 (2)设直线PA的方向向量为a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足cos θ= |cos<a,b>|. (1)求证:AC⊥B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值. 两平面的夹角 [例3] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,点E是PD的中点,AB=1,AD=PA=2. (1)求证:PB∥平面EAC; (2)求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值. [例3] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,点E是PD的中点,AB=1,AD=PA=2. 利用向量方法求两个平面的夹角的大小时,多采用法向量的方法,即求出两个平面的法向量,然后通过法向量的夹角得到两个平面的夹角的大小,这种方法思路简单,但运算量大,所以求解时需特别注意仔细运算. [针对训练] 如图,四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,∠DAB=60°,AB=AD=4,AE⊥DE, AE=DE,平面ABE与平面CDE交于EF. (1)求证:CD∥EF; (1)证明:因为AB∥CD,AB⊂平面ABE,CD⊄平面ABE,所以CD∥平面ABE, 因为平面ABE∩平面CDE=EF,CD⊂平面CDE,所以CD∥EF. [针对训练] 如图,四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,∠DAB=60°,AB=AD=4,AE⊥DE, AE=DE,平面ABE与平面CDE交于EF. (2)若EF=CD,求二面角A-BC-F的余弦值. 用向量法处理立体几何中的探索性、存在性问题 探索性、存在性问题是条件不完备、结论不确定的问题,利用向量的方法将这类问题由立体几何问题转化为代数的方程(不等式)的解的问题