1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究 距离问题 1.掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题,培养逻辑推理的核心素养. 2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.空间中的距离 (1)直线l外一点P到直线l的距离. [做一做1] 已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向量为m= (1,0,-1),则点P(1,1,1)到l的距离为(　 　) B (2)平面α外一点P到平面α的距离. [做一做2] 已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量, A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为(　 　) A [思考1] 类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离? 提示:在其中一条直线上取一点P,转化为点P到另一条直线的距离. [思考2] 类比点到平面的距离,如何求两个平行平面的 距离? 提示:在其中一个平面上取一点P,转化为点P到另一个平面的距离. 2.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与 的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题. (2)通过向量 ,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题. (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的 . 空间向量 运算 几何结论 2 师生互动 合作探究 点到直线的距离 [例1] 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为(　　) 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. 点到平面的距离 [例2] 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AD=2,AA1=5, E,F分别为DD1,BB1上的点,且DE=B1F=1. (1)求证:BE⊥平面ACF; (2)求点B到平面ACF的距离. 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的 模,即为点到平面的距离. (1)求证:C1B⊥平面ABC; (2)求点A到平面BCE的距离. 线线距、线面距和面面距 [例3] 已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点. (1)若D1C1的中点为H,求直线A1H与直线FC的距离; (2)求平面AEC1与平面FB1C的距离. (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. D 2.已知A(3,1,0),B(5,2,2),C(2,0,3),则点C到直线AB的距离为(　 　) D 3.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　 　) C 4.空间直角坐标系中A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0), D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平 面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为(　 　) A (1)求实数a的取值范围; (2)当a取最大值时,求点P到平面SCD的距离. 点击进入 课时作业 谢谢观看 如图,直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量 =(a·u)u.在 Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线l的距离为PQ= = . A.2 B. C. D. 解析:因为点A(1,-1,-1),点P(1,1,1),所以=(0,2,2), 所以||==2, 又因为直线l的方向向量为m=(1,0,-1), 所以点P(1,1,1)到l的距离d===. 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此PQ= = = . |·| || A. B. C. D. 解析:依题意,=(0,1,2),而a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d===. A